resolver o sistema de equações diferenciais lineares homogêneo \dot{x}=A x (ou seja, encontrar a solução geral x(t));
calcular a matriz exponencial e^{A t}.
Informações dadas e o que vou usar:
foi dada apenas a matriz A;
vou procurar os autovalores e autovetores de A, porque quando A é diagonalizável a solução do sistema é fácil: se A=PDP^{-1} com D=\operatorname{diag}(\lambda_i) então
e a solução geral é combinação linear dos vetores e^{\lambda_i t}v_i;
caso prático: A tem autovalores distintos (verificação abaixo), logo é diagonalizável sobre \mathbb{R} e posso proceder com a decomposição espectral. A forma alternativa que vou usar para e^{At} é a soma dos projetores espectrais:
(2) Para \lambda_2=2+\sqrt{7} e (3) \lambda_3=2-\sqrt{7} vou usar uma parametrização que elimina frações. Defina para qualquer autovalor \lambda o número
\alpha:=1-\lambda.
A primeira linha da equação (A-\lambda I)v=0 é \alpha x +3 z=0, então x=-\dfrac{3}{\alpha}z. A segunda leva a \alpha y=z+24z/\alpha, o que resulta, escolhendo z=\alpha^2, no autovetor
Observação prática para a prova: se pedir valores C_i para x(0)=x_0, basta resolver o sistema linear P\begin{pmatrix}C_1\C_2\C_3\end{pmatrix}=x_0 onde P=(v_1\;v_2\;v_3).]
Passo 6
Estratégia para calcular e^{At} sem inverter explicitamente P: usar projetores espectrais P_i.
Para autovalores distintos vale
Cada P_i é um polinômio de grau 2 em A, que pode ser escrito como combinação de I,A,A^2. Vou calcular explicitamente os três numeradores do tipo \prod_{j\ne i}(A-\lambda_j I), expressos por A^2, A e I.
Primeiro calculei A^2 diretamente (multiplicação de matrizes):