Resolver os seguintes sistemas de equações diferenciais ordinárias e calcule e^{A t}: \dot{x}=A x, onde A é sucessivamente dado por:
\left( \begin{array}{ccc}1 & 0 & 3 \\ 8 & 1 & -1 \\ 5 & 1 & -1\end{array}\right)

Passo 1

O enunciado pede duas coisas para a matriz
A=\begin{pmatrix}1 & 0 & 3 \\[4pt] 8 & 1 & -1 \\[4pt] 5 & 1 & -1\end{pmatrix}:
  • resolver o sistema de equações diferenciais lineares homogêneo \dot{x}=A x (ou seja, encontrar a solução geral x(t));
  • calcular a matriz exponencial e^{A t}.
Informações dadas e o que vou usar:
  • foi dada apenas a matriz A;
  • vou procurar os autovalores e autovetores de A, porque quando A é diagonalizável a solução do sistema é fácil: se A=PDP^{-1} com D=\operatorname{diag}(\lambda_i) então
e^{At}=P\,\operatorname{diag}(e^{\lambda_i t})\,P^{-1}
e a solução geral é combinação linear dos vetores e^{\lambda_i t}v_i;
  • caso prático: A tem autovalores distintos (verificação abaixo), logo é diagonalizável sobre \mathbb{R} e posso proceder com a decomposição espectral. A forma alternativa que vou usar para e^{At} é a soma dos projetores espectrais:
e^{At}=\sum_{i} e^{\lambda_i t}P_i,\qquad P_i=\prod_{j\ne i}\frac{A-\lambda_j I}{\lambda_i-\lambda_j},
útil porque cada P_i é um polinômio de grau 2 em A (logo expressável com I,A,A^2).]

Passo 2

Calcular o polinômio característico \det(A-\lambda I).
Matriz A-\lambda I:
A-\lambda I=\begin{pmatrix}1-\lambda & 0 & 3 \\[4pt] 8 & 1-\lambda & -1 \\[4pt] 5 & 1 & -1-\lambda\end{pmatrix}.
Faço a expansão pela primeira linha:
\det(A-\lambda I)=(1-\lambda)\det\begin{pmatrix}1-\lambda & -1 \\[4pt] 1 & -1-\lambda\end{pmatrix}+3\det\begin{pmatrix}8 & 1-\lambda \\[4pt] 5 & 1\end{pmatrix}.
Calculo as duas determinantes internas:
\det\begin{pmatrix}1-\lambda & -1 \\[4pt] 1 & -1-\lambda\end{pmatrix}=(1-\lambda)(-1-\lambda)-(-1)\cdot 1=\lambda^2,
\det\begin{pmatrix}8 & 1-\lambda \\[4pt] 5 & 1\end{pmatrix}=8\cdot 1 -5(1-\lambda)=3+5\lambda.
Portanto
\det(A-\lambda I)=(1-\lambda)\lambda^2 + 3(3+5\lambda)=-\lambda^3+\lambda^2+15\lambda+9.
Multiplicando por -1 (para a forma usual) obtemos o polinômio característico
\lambda^3-\lambda^2-15\lambda-9=0.]

Passo 3

Encontrar as raízes do polinômio \lambda^3-\lambda^2-15\lambda-9.
Testando raízes racionais: \lambda=-3 é raiz porque
(-3)^3-(-3)^2-15(-3)-9=-27-9+45-9=0.
Fazendo a divisão polinomial por (\lambda+3) obtemos o quociente \lambda^2-4\lambda-3. Assim as outras raízes satisfazem
\lambda^2-4\lambda-3=0\quad\Rightarrow\quad \lambda= \frac{4\pm\sqrt{16+12}}{2}=2\pm\sqrt{7}.
Logo os três autovalores são distintos e reais:
\lambda_1=-3,\qquad \lambda_2=2+\sqrt{7},\qquad \lambda_3=2-\sqrt{7}.
Comentário rápido: como são distintos, A é diagonalizável e posso escrever solução geral e e^{At} via autovetores / projetores espectrais.

Passo 4

Calcular autovetores. Resolver (A-\lambda_i I)v=0 para cada \lambda_i.
(1) Para \lambda_1=-3: A+3I=\begin{pmatrix}4&0&3\\[4pt]8&4&-1\\[4pt]5&1&2\end{pmatrix}.
As equações são
4x+3z=0,\qquad 8x+4y-z=0,\qquad 5x+y+2z=0.
Da primeira x=-\tfrac{3}{4}z. Substituindo nas outras obtém-se y=\tfrac{7}{4}z. Tomando z=4 para evitar frações, obtenho o autovetor
v_1=\begin{pmatrix}-3\\[4pt]7\\[4pt]4\end{pmatrix}.
(2) Para \lambda_2=2+\sqrt{7} e (3) \lambda_3=2-\sqrt{7} vou usar uma parametrização que elimina frações. Defina para qualquer autovalor \lambda o número
\alpha:=1-\lambda.
A primeira linha da equação (A-\lambda I)v=0 é \alpha x +3 z=0, então x=-\dfrac{3}{\alpha}z. A segunda leva a
\alpha y=z+24z/\alpha, o que resulta, escolhendo z=\alpha^2, no autovetor
v(\lambda)=\begin{pmatrix}-3\alpha\\[4pt]\alpha+24\\[4pt]\alpha^2\end{pmatrix}.
Agora aplico isto a cada \lambda:
  • Para \lambda_2=2+\sqrt{7} temos \alpha_2=1-(2+\sqrt{7})=-1-\sqrt{7}. Assim, tomando \alpha=\alpha_2,
v_2=\begin{pmatrix}3+3\sqrt{7}\\[4pt]23-\sqrt{7}\\[4pt]8+2\sqrt{7}\end{pmatrix}
(foi apenas reescalado para retirar sinal comum).
  • Para \lambda_3=2-\sqrt{7} temos \alpha_3=1-(2-\sqrt{7})=-1+\sqrt{7}, e obtemos
v_3=\begin{pmatrix}3-3\sqrt{7}\\[4pt]23+\sqrt{7}\\[4pt]8-2\sqrt{7}\end{pmatrix}.
Verificação rápida: v_1,v_2,v_3 são linearmente independentes (autovetores associados a autovalores distintos), então formam uma base própria.]

Passo 5

Escrever a solução geral do sistema \dot{x}=A x.
Para autovalores distintos a solução geral é combinação linear dos autovetores multiplicados por expoentes:
x(t)=C_1 e^{-3t} v_1 + C_2 e^{(2+\sqrt{7})t} v_2 + C_3 e^{(2-\sqrt{7})t} v_3,
onde C_1,C_2,C_3 são constantes determinadas pelas condições iniciais (por exemplo, por x(0)).
Explicitamente (com os vetores encontrados):
x(t)=C_1 e^{-3t}\begin{pmatrix}-3\\[4pt]7\\[4pt]4\end{pmatrix} + C_2 e^{(2+\sqrt{7})t}\begin{pmatrix}3+3\sqrt{7}\\[4pt]23-\sqrt{7}\\[4pt]8+2\sqrt{7}\end{pmatrix} + C_3 e^{(2-\sqrt{7})t}\begin{pmatrix}3-3\sqrt{7}\\[4pt]23+\sqrt{7}\\[4pt]8-2\sqrt{7}\end{pmatrix}.
Observação prática para a prova: se pedir valores C_i para x(0)=x_0, basta resolver o sistema linear P\begin{pmatrix}C_1\C_2\C_3\end{pmatrix}=x_0 onde P=(v_1\;v_2\;v_3).]

Passo 6

Estratégia para calcular e^{At} sem inverter explicitamente P: usar projetores espectrais P_i.
Para autovalores distintos vale
P_i=\prod_{j\ne i}\frac{A-\lambda_j I}{\lambda_i-\lambda_j}, \qquad e^{At}=\sum_{i=1}^3 e^{\lambda_i t}P_i.
Cada P_i é um polinômio de grau 2 em A, que pode ser escrito como combinação de I,A,A^2. Vou calcular explicitamente os três numeradores do tipo \prod_{j\ne i}(A-\lambda_j I), expressos por A^2, A e I.
Primeiro calculei A^2 diretamente (multiplicação de matrizes):
A^2=\begin{pmatrix}16 & 3 & 0 \\[4pt] 11 & 0 & 24 \\[4pt] 8 & 0 & 15\end{pmatrix}.]

Passo 7

Calcular o projetor associado a \lambda_1=-3. Usando a identidade
\prod_{j\ne 1}(A-\lambda_j I)=(A-\lambda_2 I)(A-\lambda_3 I)=A^2-(\lambda_2+\lambda_3)A+\lambda_2\lambda_3 I.
Como \lambda_2+\lambda_3=(2+\sqrt{7})+(2-\sqrt{7})=4 e \lambda_2\lambda_3=(2+\sqrt{7})(2-\sqrt{7})=4-7=-3, obtemos o numerador
N_1=A^2-4A-3I.
Calculo N_1 explicitamente (usando A^2, A e I):
N_1=\begin{pmatrix}9 & 3 & -12 \\[4pt] -21 & -7 & 28 \\[4pt] -12 & -4 & 16\end{pmatrix}.
O denominador para P_1 é (\lambda_1-\lambda_2)(\lambda_1-\lambda_3)=(-5-\sqrt{7})(-5+\sqrt{7})=18. Assim
P_1=\frac{1}{18}\begin{pmatrix}9 & 3 & -12 \\[4pt] -21 & -7 & 28 \\[4pt] -12 & -4 & 16\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}\tfrac12 & \tfrac16 & -\tfrac23 \\[4pt] -\tfrac{7}{6} & -\tfrac{7}{18} & \tfrac{14}{9} \\[4pt] -\tfrac23 & -\tfrac{2}{9} & \tfrac{8}{9}\end{pmatrix}.
Comentário: P_1 é o projetor na direção do autovetor v_1.]

Passo 8

Calcular os outros dois projetores P_2,P_3. Para cada um vale (simetricamente)
N_2=(A-\lambda_1 I)(A-\lambda_3 I)=A^2-(\lambda_1+\lambda_3)A+\lambda_1\lambda_3 I,
N_3=(A-\lambda_1 I)(A-\lambda_2 I)=A^2-(\lambda_1+\lambda_2)A+\lambda_1\lambda_2 I.
Calculo os coeficientes numéricos:
\lambda_1+\lambda_3=-3+(2-\sqrt{7})=-1-\sqrt{7},\qquad \lambda_1\lambda_3=-3(2-\sqrt{7})=-6+3\sqrt{7},
\lambda_1+\lambda_2=-3+(2+\sqrt{7})=-1+\sqrt{7},\qquad \lambda_1\lambda_2=-3(2+\sqrt{7})=-6-3\sqrt{7}.
Assim (escrevendo s=\sqrt{7} para compactar),
N_2=A^2+(1+s)A+(-6+3s)I,
N_3=A^2+(1-s)A+(-6-3s)I.
Usando A^2 e A e efetuando as somas obtemos explicitamente (cada entrada mostrada):
N_2=\begin{pmatrix}11+4s & 3 & 3+3s \\[4pt] 19+8s & -5+4s & 23-s \\[4pt] 13+5s & 1+s & 8+2s\end{pmatrix},
N_3=\begin{pmatrix}11-4s & 3 & 3-3s \\[4pt] 19-8s & -5-4s & 23+s \\[4pt] 13-5s & 1-s & 8-2s\end{pmatrix}, \quad\text{com }s=\sqrt{7}.
Os denominadores são
d_2=(\lambda_2-\lambda_1)(\lambda_2-\lambda_3)=(5+s)\cdot 2s=10s+14,
d_3=(\lambda_3-\lambda_1)(\lambda_3-\lambda_2)=(5-s)\cdot(-2s)=14-10s.
Logo
P_2=\frac{1}{10\sqrt{7}+14}\,N_2,\qquad P_3=\frac{1}{14-10\sqrt{7}}\,N_3.
Observação: P_1+P_2+P_3=I (cheque simples), e cada P_i é idempotente P_i^2=P_i.]

Passo 9

Escrever a matriz exponencial e^{At} usando os projetores.
Pelo teorema espectral,
\boxed{\,e^{At}=e^{-3t}P_1 + e^{(2+\sqrt{7})t}P_2 + e^{(2-\sqrt{7})t}P_3\,}.
Substituindo P_1,P_2,P_3 calculados acima dá uma forma explícita (cada termo é uma matriz conhecida):
  • P_1=\dfrac{1}{18}\begin{pmatrix}9 & 3 & -12 \\[4pt] -21 & -7 & 28 \\[4pt] -12 & -4 & 16\end{pmatrix}.
  • P_2=\dfrac{1}{10\sqrt{7}+14}\begin{pmatrix}11+4\sqrt{7} & 3 & 3+3\sqrt{7} \\[4pt] 19+8\sqrt{7} & -5+4\sqrt{7} & 23-\sqrt{7} \\[4pt] 13+5\sqrt{7} & 1+\sqrt{7} & 8+2\sqrt{7}\end{pmatrix}.
  • P_3=\dfrac{1}{14-10\sqrt{7}}\begin{pmatrix}11-4\sqrt{7} & 3 & 3-3\sqrt{7} \\[4pt] 19-8\sqrt{7} & -5-4\sqrt{7} & 23+\sqrt{7} \\[4pt] 13-5\sqrt{7} & 1-\sqrt{7} & 8-2\sqrt{7}\end{pmatrix}.
Portanto e^{At} é a combinação acima. Se desejar cada entrada (i,j) de e^{At} pode ser obtida somando as três matrizes escalares e^{\lambda_i t}P_i.]

Resposta

Solução geral:
x(t)=C_1 e^{-3t}\begin{pmatrix}-3\\[4pt]7\\[4pt]4\end{pmatrix} + C_2 e^{(2+\sqrt{7})t}\begin{pmatrix}3+3\sqrt{7}\\[4pt]23-\sqrt{7}\\[4pt]8+2\sqrt{7}\end{pmatrix} + C_3 e^{(2-\sqrt{7})t}\begin{pmatrix}3-3\sqrt{7}\\[4pt]23+\sqrt{7}\\[4pt]8-2\sqrt{7}\end{pmatrix}.
Matriz exponencial:
e^{At}=e^{-3t}\,\frac{1}{18}\begin{pmatrix}9 & 3 & -12 \\[4pt] -21 & -7 & 28 \\[4pt] -12 & -4 & 16\end{pmatrix} + e^{(2+\sqrt{7})t}\,\frac{1}{10\sqrt{7}+14}\begin{pmatrix}11+4\sqrt{7} & 3 & 3+3\sqrt{7} \\[4pt] 19+8\sqrt{7} & -5+4\sqrt{7} & 23-\sqrt{7} \\[4pt] 13+5\sqrt{7} & 1+\sqrt{7} & 8+2\sqrt{7}\end{pmatrix}
\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad + e^{(2-\sqrt{7})t}\,\frac{1}{14-10\sqrt{7}}\begin{pmatrix}11-4\sqrt{7} & 3 & 3-3\sqrt{7} \\[4pt] 19-8\sqrt{7} & -5-4\sqrt{7} & 23+\sqrt{7} \\[4pt] 13-5\sqrt{7} & 1-\sqrt{7} & 8-2\sqrt{7}\end{pmatrix}.
(As constantes C_1,C_2,C_3 são determinadas por x(0)=C_1 v_1+C_2 v_2+C_3 v_3.)]

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