Resolver os seguintes sistemas de equações diferenciais ordinárias e calcule e^{A t}: \dot{x}=A x, onde A é sucessivamente dado por:
\left( \begin{array}{ll}1 & 2 \\ 4 & 3\end{array}\right)

Passo 1

O que o enunciado nos dá e o que pede (peguei a matriz do enunciado). Temos o sistema
\dot{x}=A x,
com
A=\begin{pmatrix}1 & 2\\[4pt]4 & 3\end{pmatrix}.
O enunciado pede duas coisas:
  • Calcular e^{A t}.
  • Resolver o sistema \dot{x}=A x (ou seja, escrever a solução geral x(t)).]

Passo 2

Como vamos proceder (passo conceptual, sem resolver ainda). Uma maneira clássica é diagonalizar A quando possível: se existirem uma matriz inversível P e uma diagonal D tais que A=PDP^{-1}, então
e^{A t}=P\,e^{D t}\,P^{-1},
e e^{D t} é a matriz diagonal com entradas e^{\lambda_i t} (onde \lambda_i são os autovalores). Para diagonalizar precisamos encontrar os autovalores e autovetores de A.

Passo 3

Calcular o polinômio característico e os autovalores. O polinômio característico é
\det(A-\lambda I)=\det\begin{pmatrix}1-\lambda & 2\\[4pt]4 & 3-\lambda\end{pmatrix}=(1-\lambda)(3-\lambda)-8.
Desenvolvendo:
(1-\lambda)(3-\lambda)-8=\lambda^{2}-4\lambda-5.
Resolvendo \lambda^{2}-4\lambda-5=0 obtemos
\lambda=\frac{4\pm\sqrt{16+20}}{2}=\frac{4\pm6}{2}.
Logo os autovalores são
\lambda_1=5,\qquad \lambda_2=-1.]

Passo 4

Calcular um autovetor associado a \lambda_1=5. Resolvemos (A-5I)v=0:
A-5I=\begin{pmatrix}1-5 & 2\\[4pt]4 & 3-5\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-4 & 2\\[4pt]4 & -2\end{pmatrix}.
A equação (-4)x_1+2x_2=0 x_2=2x_1. Escolhendo x_1=1 obtemos o autovetor
v_1=\begin{pmatrix}1\\[4pt]2\end{pmatrix}.
(Não importa multiplicar por constante — qualquer múltiplo não nulo é autovetor.)]

Passo 5

Calcular um autovetor associado a \lambda_2=-1. Resolvemos (A+I)v=0:
A+I=\begin{pmatrix}1+1 & 2\\[4pt]4 & 3+1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2 & 2\\[4pt]4 & 4\end{pmatrix}.
A equação 2x_1+2x_2=0 x_2=-x_1. Escolhendo x_1=1 obtemos
v_2=\begin{pmatrix}1\\[4pt]-1\end{pmatrix}.]

Passo 6

Montar P, D e calcular P^{-1}. Tomando as colunas de P os autovetores v_1,v_2,
P=\begin{pmatrix}1 & 1\\[4pt]2 & -1\end{pmatrix},\qquad D=\begin{pmatrix}5 & 0\\[4pt]0 & -1\end{pmatrix}.
O determinante de P é
\det P=1\cdot(-1)-1\cdot 2=-3.
Assim
P^{-1}=\frac{1}{\det P}\begin{pmatrix}-1 & -1\\[4pt]-2 & 1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1/3 & 1/3\\[4pt]2/3 & -1/3\end{pmatrix}.]

Passo 7

Usar a fórmula da exponencial matricial por diagonalização. Como A=PDP^{-1},
e^{A t}=P\,e^{D t}\,P^{-1},
e
e^{D t}=\begin{pmatrix}e^{5t} & 0\\[4pt]0 & e^{-t}\end{pmatrix}.
Primeiro multiplicamos P\,e^{D t}:
P\,e^{D t}=\begin{pmatrix}1 & 1\\[4pt]2 & -1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}e^{5t} & 0\\[4pt]0 & e^{-t}\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}e^{5t} & e^{-t}\\[4pt]2e^{5t} & -e^{-t}\end{pmatrix}.]

Passo 8

Multiplicar pelo P^{-1} e escrever explicitamente e^{A t}. Fazendo
e^{A t}=\begin{pmatrix}e^{5t} & e^{-t}\\[4pt]2e^{5t} & -e^{-t}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1/3 & 1/3\\[4pt]2/3 & -1/3\end{pmatrix},
calculemos entradas uma a uma:
\begin{aligned} (e^{A t})_{11}&=\tfrac{1}{3}e^{5t}+\tfrac{2}{3}e^{-t},\\[4pt] (e^{A t})_{12}&=\tfrac{1}{3}e^{5t}-\tfrac{1}{3}e^{-t},\\[4pt] (e^{A t})_{21}&=\tfrac{2}{3}e^{5t}-\tfrac{2}{3}e^{-t},\\[4pt] (e^{A t})_{22}&=\tfrac{2}{3}e^{5t}+\tfrac{1}{3}e^{-t}. \end{aligned}
Podemos colocar em forma factorizada:
e^{A t}=\frac{1}{3}\begin{pmatrix}e^{5t}+2e^{-t} & e^{5t}-e^{-t}\\[6pt]2\bigl(e^{5t}-e^{-t}\bigr) & 2e^{5t}+e^{-t}\end{pmatrix}.]

Passo 9

Escrever a solução geral do sistema. Como temos autovetores v_1,v_2 e autovalores \lambda_1=5,\lambda_2=-1, a solução geral é combinação linear das soluções próprias:
x(t)=C_1 e^{5t}\begin{pmatrix}1\\[4pt]2\end{pmatrix}+C_2 e^{-t}\begin{pmatrix}1\\[4pt]-1\end{pmatrix},
onde C_1,C_2 são constantes determináveis a partir da condição inicial x(0) por
\begin{pmatrix}C_1\\[4pt]C_2\end{pmatrix}=P^{-1}x(0)=\begin{pmatrix}1/3 & 1/3\\[4pt]2/3 & -1/3\end{pmatrix}x(0).]

Resposta

e^{A t}=\frac{1}{3}\begin{pmatrix}e^{5t}+2e^{-t} & e^{5t}-e^{-t}\\[6pt]2\bigl(e^{5t}-e^{-t}\bigr) & 2e^{5t}+e^{-t}\end{pmatrix}.
x(t)=C_1 e^{5t}\begin{pmatrix}1\\[4pt]2\end{pmatrix}+C_2 e^{-t}\begin{pmatrix}1\\[4pt]-1\end{pmatrix},\qquad C_1,C_2\in\mathbb{R}.]

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