Resolver os seguintes sistemas de equações diferenciais ordinárias e calcule
, onde
é sucessivamente dado por:
\left(
\right)
\left(
Passo 1
O que o enunciado nos dá e o que pede (peguei a matriz do enunciado). Temos o sistema
com
O enunciado pede duas coisas:
- Calcular
. - Resolver o sistema
(ou seja, escrever a solução geral ).]
Passo 2
Como vamos proceder (passo conceptual, sem resolver ainda). Uma maneira clássica é diagonalizar
quando possível: se existirem uma matriz inversível
e uma diagonal
tais que
, então
e
é a matriz diagonal com entradas
(onde
são os autovalores). Para diagonalizar precisamos encontrar os autovalores e autovetores de
.
Passo 3
Calcular o polinômio característico e os autovalores. O polinômio característico é
Desenvolvendo:
Resolvendo
obtemos
Logo os autovalores são
Passo 4
Calcular um autovetor associado a
. Resolvemos
:
A equação
dá
. Escolhendo
obtemos o autovetor
(Não importa multiplicar por constante — qualquer múltiplo não nulo é autovetor.)]
Passo 5
Calcular um autovetor associado a
. Resolvemos
:
A equação
dá
. Escolhendo
obtemos
Passo 6
Montar
,
e calcular
. Tomando as colunas de
os autovetores
,
O determinante de
é
Assim
Passo 7
Usar a fórmula da exponencial matricial por diagonalização. Como
,
e
Primeiro multiplicamos
:
Passo 8
Multiplicar pelo
e escrever explicitamente
. Fazendo
calculemos entradas uma a uma:
Podemos colocar em forma factorizada:
Passo 9
Escrever a solução geral do sistema. Como temos autovetores
e autovalores
, a solução geral é combinação linear das soluções próprias:
onde
são constantes determináveis a partir da condição inicial
por