Resolver os seguintes sistemas de equações diferenciais ordinárias e calcule
, onde
é sucessivamente dado por:
2)
2)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse sistema de equações diferenciais ordinárias que é do tipo
, onde a matriz
é dada por:
O que vamos precisar aqui é entender um pouco de álgebra linear, especialmente sobre autovalores e autovetores, para calcular a matriz exponencial
. Vamos passo a passo!
Passo 2
Primeiro, precisamos encontrar os autovalores da matriz
. Os autovalores são números
que satisfazem a equação característica:
Onde
é a matriz identidade do mesmo tamanho que
.
Passo 3
Vamos calcular o determinante de
:
O determinante disso é:
Passo 4
Resolvendo a equação característica:
Então, os autovalores são
e
.
Passo 5
Agora, vamos utilizar a forma da matriz exponencial para matrizes com autovalores complexos. Quando os autovalores são
, a matriz exponencial pode ser escrita como:
No nosso caso,
e
.
Passo 6
Substituindo os valores de
e
na fórmula:
Vamos calcular
:
Passo 7
Agora, colocando tudo junto:
Resposta
A matriz exponencial é: