Resolver os seguintes sistemas de equações diferenciais ordinárias e calcule e^A t: dotx=A x, onde A é sucessivamente dado por:
2) (cc-2 & 1 -1 & -2)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse sistema de equações diferenciais ordinárias que é do tipo dotx = A x, onde a matriz A é dada por:
A = -2 & 1 -1 & -2
O que vamos precisar aqui é entender um pouco de álgebra linear, especialmente sobre autovalores e autovetores, para calcular a matriz exponencial e^A t. Vamos passo a passo!

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar os autovalores da matriz A. Os autovalores são números lambda que satisfazem a equação característica:
det(A - lambda I) = 0
Onde I é a matriz identidade do mesmo tamanho que A.

Passo 3

Vamos calcular o determinante de (A - lambda I):
A - lambda I = -2 - lambda & 1 -1 & -2 - lambda
O determinante disso é:
det(A - lambda I) = (-2 - lambda)(-2 - lambda) - (-1)(1) = (lambda + 2)^2 + 1

Passo 4

Resolvendo a equação característica:
(lambda + 2)^2 + 1 = 0 (lambda + 2)^2 = -1 lambda + 2 = pm i lambda = -2 pm i
Então, os autovalores são lambda = -2 + i e lambda = -2 - i.

Passo 5

Agora, vamos utilizar a forma da matriz exponencial para matrizes com autovalores complexos. Quando os autovalores são lambda = alpha pm beta i, a matriz exponencial pode ser escrita como:
e^A t = e^alpha t ( cos(beta t) I + sin(beta t)beta (A - alpha I) )
No nosso caso, alpha = -2 e beta = 1.

Passo 6

Substituindo os valores de alpha e beta na fórmula:
e^A t = e^-2 t ( cos(t) I + sin(t) (A + 2 I) )
Vamos calcular A + 2 I:
A + 2 I = -2 & 1 -1 & -2 + 2 & 0 0 & 2 = 0 & 1 -1 & 0

Passo 7

Agora, colocando tudo junto:
e^A t = e^-2 t ( cos(t) 1 & 0 0 & 1 + sin(t) 0 & 1 -1 & 0 )
= e^-2 t cos(t) & sin(t) -sin(t) & cos(t)

Resposta

A matriz exponencial é:
e^A t = e^-2 t cos(t) & sin(t) -sin(t) & cos(t)

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