Resolver os seguintes sistemas de equações diferenciais ordinárias e calcule e^A t: dotx=A x, onde A é sucessivamente dado por:
4) (ccc0 & 1 & 0 0 & 0 & 1 -6 & -11 & -6)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse sistema de equações diferenciais $ \dot{x} = A x $ onde a matriz $ A $ é:
dotx = A x
O conteúdo que vamos usar aqui é a teoria de sistemas lineares de equações diferenciais e a matriz exponencial $ e^{At} $. Para calcular $ e^{At} $, vamos precisar encontrar os autovalores e autovetores da matriz $ A $, o que nos permitirá diagonalizar $ A $ e assim calcular a exponencial de forma mais fácil.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os autovalores da matriz $ A $. Para isso, resolvemos a equação característica $ \det(A - \lambda I) = 0 $, onde $ I $ é a matriz identidade e $ \lambda $ representa os autovalores.
A
Calculando o determinante:
det(A - lambda I) = 0
I
lambda
Simplificando:
det(A - lambda I) = det -lambda & 1 & 0 0 & -lambda & 1 -6 & -11 & -6 - lambda

Passo 3

Agora, vamos resolver o polinômio característico $ \lambda^3 + 6\lambda^2 + 11\lambda + 6 = 0 $ para encontrar os autovalores.
Tentando as possíveis raízes racionais (fatores de 6):
Testando $ \lambda = -1 $:
lambda^3 + 6lambda^2 + 11lambda + 6 = 0
Então, $ \lambda = -1 $ é uma raiz. Agora, vamos fatorar o polinômio:
lambda = -1
Resolvendo a equação quadrática $ \lambda^2 + 5\lambda + 6 = 0 $:
(-1)^3 + 6(-1)^2 + 11(-1) + 6 = -1 + 6 - 11 + 6 = 0
Então, as outras raízes são $ \lambda = -2 $ e $ \lambda = -3 $.
Portanto, os autovalores são:
lambda = -1

Passo 4

Com os autovalores encontrados, vamos agora encontrar os autovetores correspondentes a cada $ \lambda $.
Para $ \lambda = -1 $:
Resolvemos $ (A + I)v = 0 $:

$$
lambda
lambda = -1

(A + I)v = 0
$$
Resolvendo esse sistema, encontramos que um autovetor é $ v^{(1)} = 1 & 1 & 0 0 & 1 & 1 -6 & -11 & -5 v1 v2 v3 = 0 0 0 $.
Para $ \lambda = -2 $:
Resolvemos $ (A + 2I)v = 0 $:

$$
v^(1) = 1 -2 1
lambda = -2

(A + 2I)v = 0
$$
Encontramos que um autovetor é $ v^{(2)} = 2 & 1 & 0 0 & 2 & 1 -6 & -11 & -4 v1 v2 v3 = 0 0 0 $.
Para $ \lambda = -3 $:
Resolvemos $ (A + 3I)v = 0 $:

$$
v^(2) = 1 -2 2
lambda = -3

(A + 3I)v = 0
$$
Encontramos que um autovetor é $ v^{(3)} = 3 & 1 & 0 0 & 3 & 1 -6 & -11 & -3 v1 v2 v3 = 0 0 0 $.

Passo 5

Agora, vamos montar a matriz P com os autovetores e a matriz Λ com os autovalores:
P = 1 & 1 & 1 -2 & -2 & -3 1 & 2 & 3 , Lambda = -1 & 0 & 0 0 & -2 & 0 0 & 0 & -3
Precisamos calcular $ P^{-1} $, que é a inversa de $ P $.

Passo 6

Calculando a inversa de $ P $:
P
Após realizar os cálculos (pode-se usar métodos como a regra de Sarrus ou a matriz adjunta), obtemos:
P^-1 = 1 & 1 & 1 -2 & -2 & -3 1 & 2 & 3 ^-1

Passo 7

Agora, podemos calcular $ e^{At} $ usando a fórmula:
e^At
Onde $ e^{\Lambda t} $ é a matriz diagonal cujos elementos são $ e^{\lambda_i t} $:
e^At = P e^Lambda t P^-1
Multiplicando agora as matrizes:
e^Lambda t
Após realizar as multiplicações matriciais, obtemos a matriz exponencial $ e^{At} $.

Resposta

A matriz exponencial $ e^{At} $ é dada por:
e^At

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