Assunto: Integrais de Linha
Calcule a integral de linha em que F(x, y)=x y i+3 y^{2} j; em que C é dada pela função vetorial
[
r(t)=11 t^{4} i+t^{3} j no intervalo 0 \leq t \leq 1 .
]

Passo 1

O enunciado nos dá o campo vetorial
F(x,y)=x\,y\,\mathbf{i}+3y^{2}\,\mathbf{j}
e a curva C parametrizada por
\mathbf{r}(t)=11t^{4}\,\mathbf{i}+t^{3}\,\mathbf{j},\quad 0\le t\le1.
Queremos calcular a integral de linha
\int_{C}F\cdot d\mathbf{r} =\int_{0}^{1}F\bigl(\mathbf{r}(t)\bigr)\cdot \mathbf{r}'(t)\,dt.
Para isso, vamos achar \mathbf{r}'(t), expressar F em função de t, fazer o produto escalar e integrar.

Passo 2

Derivando componente a componente, obtemos
\mathbf{r}'(t) =\frac{d}{dt}\bigl(11t^{4}\bigr)\,\mathbf{i} +\frac{d}{dt}\bigl(t^{3}\bigr)\,\mathbf{j} =44t^{3}\,\mathbf{i}+3t^{2}\,\mathbf{j}.

Passo 3

Substituímos x=11t^{4} e y=t^{3} em F(x,y):
F\bigl(\mathbf{r}(t)\bigr) =\bigl(11t^{4}\cdot t^{3}\bigr)\,\mathbf{i} +3\bigl(t^{3}\bigr)^{2}\,\mathbf{j} =11t^{7}\,\mathbf{i}+3t^{6}\,\mathbf{j}.

Passo 4

Calculamos o produto escalar
F\bigl(\mathbf{r}(t)\bigr)\cdot \mathbf{r}'(t) =(11t^{7})(44t^{3})+(3t^{6})(3t^{2}) =484\,t^{10}+9\,t^{8}.

Passo 5

Integramos de 0 a 1:
\int_{0}^{1}\bigl(484\,t^{10}+9\,t^{8}\bigr)\,dt =484\int_{0}^{1}t^{10}dt+9\int_{0}^{1}t^{8}dt =484\cdot\frac{1}{11}+9\cdot\frac{1}{9} =44+1=45.

Resposta

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