Resolver um sistema de equações diferenciais
Passo 1
O enunciado pede a solução geral do sistema linear não homogêneo
O conteúdo é equações diferenciais lineares em vetor, que vamos resolver em duas etapas: primeiro a parte homogênea
, depois uma solução particular de
.
Passo 2
Escrevemos o sistema na forma matricial
de modo que
Para a solução homogênea resolvemos
determinando autovalores e autovetores de
.
Passo 3
O polinômio característico de
é
Logo
,
.
Para resolvemos
:
Para
um autovetor é
.
Para temos
Para
podemos escolher
.
Portanto a solução homogênea é
Portanto a solução homogênea é
Passo 4
Para a parte particular usamos o método dos coeficientes indeterminados buscando
Substituindo em
dá
ou seja
Resolvendo
vem
e
. Assim
Passo 5
A solução geral é a soma das partes homogênea e particular:
Isto é, em componentes,
Resposta
com
constantes arbitrárias.