Encontre: pontos de máximos, mínimos e inflexão da função
f(x)=x^{3}-6 x^{2}+9 x+2
e faça o esboço do gráfico.

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x)=x^{3}-6\,x^{2}+9\,x+2
e pede os pontos de máximo, mínimo e inflexão, além do esboço do gráfico.
Conteúdo: derivadas primeira e segunda, teste da segunda derivada para extremos, inflexão pelo sinal de f''(x) e esboço de um polinômio cúbico.

Passo 2

Vamos calcular a primeira derivada e achar os pontos críticos.
f'(x)=\frac{d}{dx}\bigl(x^{3}-6x^{2}+9x+2\bigr) =3x^{2}-12x+9.
Para encontrar pontos críticos, resolvemos
3x^{2}-12x+9=0 \quad\Longrightarrow\quad x^{2}-4x+3=0 \quad\Longrightarrow\quad x=1\quad\text{ou}\quad x=3.

Passo 3

Classificamos x=1 e x=3 usando a segunda derivada.
f''(x)=\frac{d}{dx}(3x^{2}-12x+9)=6x-12.
  • Em x=1:
f''(1)=6\cdot1-12=-6<0,
logo há um máximo local em x=1.
  • Em x=3:
f''(3)=6\cdot3-12=6>0,
logo há um mínimo local em x=3.
Calculando os valores de f:
f(1)=1-6+9+2=6, \qquad f(3)=27-54+27+2=2.

Passo 4

Agora achamos o ponto de inflexão resolvendo f''(x)=0:
6x-12=0\quad\Longrightarrow\quad x=2.
O ponto de inflexão é \bigl(2,f(2)\bigr). Calculando
f(2)=8-24+18+2=4.
Para x<2, f''(x)<0 (concavidade para baixo) e para x>2, f''(x)>0 (concavidade para cima), confirmando a inflexão em x=2.

Passo 5

Esboço do gráfico de f:
  • À esquerda de x=1, f'(x)>0 então f cresce até o máximo em (1,6).
  • Entre 1 e 3, f'(x)<0 e f decresce até o mínimo em (3,2).
  • Para x>3, f'(x)>0 e f cresce novamente.
  • Em x=2 a concavidade muda de para baixo para para cima, ponto de inflexão em (2,4).
    Para x\to-\infty, f(x)\to -\infty e para x\to+\infty, f(x)\to +\infty. Marque os pontos (1,6), (2,4) e (3,2) e ligue suavemente respeitando monotonia e concavidade de cada intervalo.

Resposta

Máximo local em \bigl(1,6\bigr).
Mínimo local em \bigl(3,2\bigr).
Ponto de inflexão em \bigl(2,4\bigr).
Esboço: polinômio cúbico crescendo para x<1, decrescendo de 1 a 3, crescendo para x>3, com mudança de concavidade em x=2.

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