Encontre: pontos de máximos, mínimos e inflexão da função
e faça o esboço do gráfico.
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede os pontos de máximo, mínimo e inflexão, além do esboço do gráfico.
Conteúdo: derivadas primeira e segunda, teste da segunda derivada para extremos, inflexão pelo sinal de e esboço de um polinômio cúbico.
Conteúdo: derivadas primeira e segunda, teste da segunda derivada para extremos, inflexão pelo sinal de
Passo 2
Vamos calcular a primeira derivada e achar os pontos críticos.
Para encontrar pontos críticos, resolvemos
Passo 3
Classificamos
e
usando a segunda derivada.
- Em
:
logo há um máximo local em
.
- Em
:
logo há um mínimo local em
.
Calculando os valores de :
Calculando os valores de
Passo 4
Agora achamos o ponto de inflexão resolvendo
:
O ponto de inflexão é
. Calculando
Para
,
(concavidade para baixo) e para
,
(concavidade para cima), confirmando a inflexão em
.
Passo 5
Esboço do gráfico de
:
- À esquerda de
, então cresce até o máximo em . - Entre
e , e decresce até o mínimo em . - Para
, e cresce novamente. - Em
a concavidade muda de para baixo para para cima, ponto de inflexão em .
Para, e para , . Marque os pontos , e e ligue suavemente respeitando monotonia e concavidade de cada intervalo.
Resposta
Máximo local em
.
Mínimo local em .
Ponto de inflexão em .
Esboço: polinômio cúbico crescendo para , decrescendo de
a
, crescendo para
, com mudança de concavidade em
.
Mínimo local em
Ponto de inflexão em
Esboço: polinômio cúbico crescendo para