Resolver o sistema:
Passo 1
O enunciado pede resolver o sistema
As informações dadas são:
-
e são incógnitas (buscamos os pares ordenados reais , salvo indicação em contrário). -
e são constantes do problema (podem ser positivas, negativas ou zero), e aparecem apenas através de e .
O que foi pedido: encontrar todos os paresque satisfazem simultaneamente as duas equações do sistema.
Passo 2
Ideia útil (fórmula que costuma resolver esses problemas): é mais fácil trabalhar com as somas e produtos das incógnitas. Defina
Essas duas quantidades controlam as expressões simétricas em
e
. Vou explicar por que isso ajuda: a soma dos quadrados pode ser escrita em termos de
e
usando identidades algébricas clássicas. Essa identidade é
Na notação
isso fica
Aqui
é a soma
e
é o produto
.
Passo 3
Substitua os dados do sistema nas expressões em
e
. Do enunciado sabemos
e
, então
e
Substituindo
obtemos
Logo
e, portanto,
Explicação didática: a soma
fica determinada em módulo pelos parâmetros
e
; o sinal
ou
corresponde ao fato de que trocar
por
mantém as duas equações (as equações usam
e
), então as soluções vêm em pares opostos.
Passo 4
Agora que sabemos
e
, podemos ver
e
como raízes do polinômio quadrático
isto é,
Explicação: se
e
são as raízes de um polinômio quadrático
, então por relação de Viète a soma das raízes é
e o produto é
. Assim resolver o sistema equivale a resolver essa equação quadrática para
e atribuir as duas raízes a
e
.
Passo 5
Resolva a quadrática por fórmula. O discriminante dessa equação é
Substituindo
e
obtemos
Portanto as raízes (os valores possíveis de
e
) são
Observação importante sobre reais: para que as soluções
sejam reais precisamos ter
, isto é
Se
as soluções são complexas.
Passo 6
Organizando as soluções reais (assumindo
). Tome
Para
as duas raízes são
ou trocando
e
(as raízes podem ser permutadas). Para
obtemos os mesmos valores com sinal global trocado:
e também a permutação desses valores. Essas quatro ordenações cobrem todas as soluções reais ordenadas (algumas se coincidem nos casos especiais abaixo).
Passo 7
Casos especiais e interpretação:
- Se
então e existem duas raízes distintas; as soluções reais ordenadas são as duas permutações das raízes e as suas opostas (total de até 4 pares ordenados, alguns podem coincidir se houver simetrias). - Se
então e as raízes colapsam: . Como e temos , compatível com . - Se
então . As fórmulas acima reduzem-se corretamente aos pares e .
Passo 8
Exemplo numérico rápido para fixar a ideia: seja
,
. Então
,
,
. Calcula-se
e as raízes são
além das permutações e dos sinais trocados (por exemplo
também é solução).