Resolver o sistema:
\left\{\begin{array}{l} x^{2}+y^{2}=a^{2} \\\ x y=b^{2} \end{array}\right.

Passo 1

O enunciado pede resolver o sistema
\left\{\begin{array}{l} x^{2}+y^{2}=a^{2} \\\ x y=b^{2} \end{array}\right.
As informações dadas são:
  • x e y são incógnitas (buscamos os pares ordenados reais (x,y), salvo indicação em contrário).
  • a e b são constantes do problema (podem ser positivas, negativas ou zero), e aparecem apenas através de a^{2} e b^{2}.
    O que foi pedido: encontrar todos os pares (x,y) que satisfazem simultaneamente as duas equações do sistema.

Passo 2

Ideia útil (fórmula que costuma resolver esses problemas): é mais fácil trabalhar com as somas e produtos das incógnitas. Defina
S = x+y,\qquad P = x y.
Essas duas quantidades controlam as expressões simétricas em x e y. Vou explicar por que isso ajuda: a soma dos quadrados pode ser escrita em termos de S e P usando identidades algébricas clássicas. Essa identidade é
x^{2}+y^{2} = (x+y)^{2} - 2xy.
Na notação S,P isso fica
x^{2}+y^{2} = S^{2} - 2P.
Aqui S é a soma x+y e P é o produto xy.

Passo 3

Substitua os dados do sistema nas expressões em S e P. Do enunciado sabemos \,x^{2}+y^{2}=a^{2} e \,xy=b^{2}, então P=b^{2} e
S^{2}-2P = a^{2}.
Substituindo P=b^{2} obtemos
S^{2}-2b^{2}=a^{2}.
Logo
S^{2}=a^{2}+2b^{2}
e, portanto,
S = x+y = \pm\sqrt{a^{2}+2b^{2}}.
Explicação didática: a soma S fica determinada em módulo pelos parâmetros a e b; o sinal + ou - corresponde ao fato de que trocar (x,y) por (-x,-y) mantém as duas equações (as equações usam x^{2},y^{2} e xy), então as soluções vêm em pares opostos.

Passo 4

Agora que sabemos S e P, podemos ver x e y como raízes do polinômio quadrático
t^{2}-S t + P = 0,
isto é,
t^{2} - S t + b^{2} = 0.
Explicação: se x e y são as raízes de um polinômio quadrático t^{2}-S t + P, então por relação de Viète a soma das raízes é S e o produto é P. Assim resolver o sistema equivale a resolver essa equação quadrática para t e atribuir as duas raízes a x e y.

Passo 5

Resolva a quadrática por fórmula. O discriminante dessa equação é
\Delta = S^{2}-4P.
Substituindo S^{2}=a^{2}+2b^{2} e P=b^{2} obtemos
\Delta = (a^{2}+2b^{2}) - 4b^{2} = a^{2}-2b^{2}.
Portanto as raízes (os valores possíveis de x e y) são
t = \frac{S \pm \sqrt{\Delta}}{2} = \frac{S \pm \sqrt{a^{2}-2b^{2}}}{2}.
Observação importante sobre reais: para que as soluções x,y sejam reais precisamos ter \Delta \ge 0, isto é
a^{2}-2b^{2}\ge 0 \quad\Longleftrightarrow\quad a^{2}\ge 2b^{2}.
Se a^{2}<2b^{2} as soluções são complexas.

Passo 6

Organizando as soluções reais (assumindo a^{2}\ge 2b^{2}). Tome
S = \sqrt{a^{2}+2b^{2}}\quad\text{ou}\quad S = -\sqrt{a^{2}+2b^{2}}, \qquad \Delta = a^{2}-2b^{2},\qquad \Delta^{1/2}=\sqrt{a^{2}-2b^{2}}.
Para S=+\sqrt{a^{2}+2b^{2}} as duas raízes são
x=\frac{\sqrt{a^{2}+2b^{2}}+\sqrt{a^{2}-2b^{2}}}{2},\qquad y=\frac{\sqrt{a^{2}+2b^{2}}-\sqrt{a^{2}-2b^{2}}}{2},
ou trocando x e y (as raízes podem ser permutadas). Para S=-\sqrt{a^{2}+2b^{2}} obtemos os mesmos valores com sinal global trocado:
x=-\frac{\sqrt{a^{2}+2b^{2}}+\sqrt{a^{2}-2b^{2}}}{2},\qquad y=-\frac{\sqrt{a^{2}+2b^{2}}-\sqrt{a^{2}-2b^{2}}}{2},
e também a permutação desses valores. Essas quatro ordenações cobrem todas as soluções reais ordenadas (algumas se coincidem nos casos especiais abaixo).

Passo 7

Casos especiais e interpretação:
  • Se a^{2}>2b^{2} então \sqrt{a^{2}-2b^{2}}>0 e existem duas raízes distintas; as soluções reais ordenadas são as duas permutações das raízes e as suas opostas (total de até 4 pares ordenados, alguns podem coincidir se houver simetrias).
  • Se a^{2}=2b^{2} então \Delta=0 e as raízes colapsam: x=y=\dfrac{S}{2}. Como P=b^{2} e x^{2}=b^{2} temos x=y=\pm b, compatível com a^{2}=2b^{2}.
  • Se b=0 então xy=0. As fórmulas acima reduzem-se corretamente aos pares (\pm a,0) e (0,\pm a).

Passo 8

Exemplo numérico rápido para fixar a ideia: seja a=5, b=2. Então a^{2}=25, b^{2}=4, a^{2}-2b^{2}=25-8=17\ge0. Calcula-se
S=\sqrt{25+8}=\sqrt{33},\qquad \sqrt{\Delta}=\sqrt{17},
e as raízes são
x=\frac{\sqrt{33}+\sqrt{17}}{2},\qquad y=\frac{\sqrt{33}-\sqrt{17}}{2},
além das permutações e dos sinais trocados (por exemplo (-x,-y) também é solução).

Resposta

(Se a^{2}\ge 2b^{2}, as soluções reais ordenadas são)
\left(\frac{\sqrt{a^{2}+2b^{2}}+\sqrt{a^{2}-2b^{2}}}{2},\\ \frac{\sqrt{a^{2}+2b^{2}}-\sqrt{a^{2}-2b^{2}}}{2}\right)
\left(\frac{\sqrt{a^{2}+2b^{2}}-\sqrt{a^{2}-2b^{2}}}{2},\\ \frac{\sqrt{a^{2}+2b^{2}}+\sqrt{a^{2}-2b^{2}}}{2}\right)
\left(-\frac{\sqrt{a^{2}+2b^{2}}+\sqrt{a^{2}-2b^{2}}}{2},\\\ -\frac{\sqrt{a^{2}+2b^{2}}-\sqrt{a^{2}-2b^{2}}}{2}\right)
\left(-\frac{\sqrt{a^{2}+2b^{2}}-\sqrt{a^{2}-2b^{2}}}{2},\\\ -\frac{\sqrt{a^{2}+2b^{2}}+\sqrt{a^{2}-2b^{2}}}{2}\right)
(Se a^{2}=2b^{2} então x=y=\pm b. Se a^{2}<2b^{2} não há soluções reais, somente complexas.)

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