Resolver os sistemas de equações diferenciais lineares aplicando o método da transformada de Laplace. \left\{\begin{array}{l}y^{\prime \prime}(t)-x(t)=0 \\\ x^{\prime \prime}(t)-y(t)=u_{\pi}(t)\end{array} \quad\right. Condições iniciais: x(0)=x^{\prime}(0)=1 e y(0)=y^{\prime}(0)=0
Passo 1
O enunciado pede para resolver, pelo método da transformada de Laplace, o sistema
onde u_{\pi}(t) é a função degrau de Heaviside deslocada em t=\pi. Vamos transformar cada equação em s, usar as condições iniciais, resolver para X(s) e Y(s), depois inverter as transformadas, lembrando que a parte com e^{-\pi s} gera termos multiplicados por u(t-\pi).
Passo 2
Aplico Laplace na primeira equação. Como y(0)=y'(0)=0,
Para a parte deslocada, seja \displaystyle f(t)=\tfrac14e^t+\tfrac14e^{-t}-\tfrac12\cos t,
então y_p''(t)=u(t-\pi)f(t-\pi). Definimos g''(t)=f(t) com g(0)=g'(0)=0, obtendo
g(t)=\tfrac12\operatorname{sinh} t +\tfrac12\bigl(\cos t-1\bigr).