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Achar a melhor reta e determinar b_{0} ; b_{1} e D com os dados a seguir
\left[\begin{array}{cccccc} i & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\\ x_{i} & 6,5 & 7,5 & 8,5 & 9,5 & 12,5 \\\ y_{i} & 4,5 & 6,0 & 5,0 & 3,0 & 6,5 \end{array}\right]

Passo 1

O enunciado pede: encontrar a “melhor reta” ajustada aos pontos dados e determinar b_{0}, b_{1} e D. Os dados fornecidos são (veja a tabela do enunciado):
\begin{array}{c|ccccc} i & 1 & 2 & 3 & 4 & 5\\hline x_i & 6,5 & 7,5 & 8,5 & 9,5 & 12,5\\\ y_i & 4,5 & 6,0 & 5,0 & 3,0 & 6,5 \end{array}
Lista de informações relevantes que usaremos:
  • Número de pontos: n=5.
  • Valores de x_i e y_i conforme a tabela acima.
  • Vamos ajustar a reta de regressão linear simples \hat y = b_{0}+b_{1}x.
  • Vamos usar as fórmulas usuais dos mínimos quadrados:
b_{1}=\frac{\sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar x)(y_i-\bar y)}{\sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar x)^2}, \qquad b_{0}=\bar y-b_{1}\bar x.
  • Definiremos D como a soma dos quadrados dos resíduos:
D=\sum_{i=1}^{n}\bigl(y_i-\hat y_i\bigr)^2.

Passo 2

Calcular as médias \bar x e \bar y. Primeiro somas:
\sum_{i=1}^{5} x_i = 6,5+7,5+8,5+9,5+12,5 = 44,5,
\sum_{i=1}^{5} y_i = 4,5+6,0+5,0+3,0+6,5 = 25,0.
Portanto as médias são:
\bar x=\frac{44,5}{5}=8,9,\qquad \bar y=\frac{25,0}{5}=5,0.

Passo 3

Calcular os somatórios necessários para b_{1}: S_{xy}=\sum (x_i-\bar x)(y_i-\bar y) e S_{xx}=\sum (x_i-\bar x)^2. Vamos montar linha a linha (mostrando x_i-\bar x, y_i-\bar y, produto e quadrado):
Para i=1: x_1=6,5, y_1=4,5.
x_1-\bar x = 6,5-8,9 = -2,4,\qquad y_1-\bar y = 4,5-5,0 = -0,5,
(x_1-\bar x)(y_1-\bar y)=(-2,4)(-0,5)=1,2,\qquad (x_1-\bar x)^2 = (-2,4)^2=5,76.
Para i=2: x_2=7,5, y_2=6,0.
x_2-\bar x = -1,4,\qquad y_2-\bar y = 1,0,
(x_2-\bar x)(y_2-\bar y)=(-1,4)(1,0)=-1,4,\qquad (x_2-\bar x)^2=1,96.
Para i=3: x_3=8,5, y_3=5,0.
x_3-\bar x = -0,4,\qquad y_3-\bar y = 0,0,
(x_3-\bar x)(y_3-\bar y)=0,\qquad (x_3-\bar x)^2=0,16.
Para i=4: x_4=9,5, y_4=3,0.
x_4-\bar x = 0,6,\qquad y_4-\bar y = -2,0,
(x_4-\bar x)(y_4-\bar y)=(0,6)(-2,0)=-1,2,\qquad (x_4-\bar x)^2=0,36.
Para i=5: x_5=12,5, y_5=6,5.
x_5-\bar x = 3,6,\qquad y_5-\bar y = 1,5,
(x_5-\bar x)(y_5-\bar y)=(3,6)(1,5)=5,4,\qquad (x_5-\bar x)^2=12,96.
Agora somamos:
S_{xy}=\sum_{i=1}^{5}(x_i-\bar x)(y_i-\bar y)=1,2-1,4+0-1,2+5,4=4,0.
S_{xx}=\sum_{i=1}^{5}(x_i-\bar x)^2=5,76+1,96+0,16+0,36+12,96=21,2.

Passo 4

Calcular b_{1} e b_{0} usando as fórmulas dos mínimos quadrados. Explico as fórmulas: b_{1} mede a inclinação que minimiza a soma dos quadrados dos erros; S_{xy} é a covariância não-normalizada entre x e y e S_{xx} é a variância não-normalizada de x. As fórmulas são:
b_{1}=\frac{S_{xy}}{S_{xx}}=\frac{4,0}{21,2}=\frac{10}{53}\approx 0,188679,
b_{0}=\bar y-b_{1}\bar x=5,0-\frac{10}{53}\cdot 8,9.
Fazendo as contas com frações:
8,9=\frac{89}{10}\implies b_{1}\bar x=\frac{10}{53}\cdot\frac{89}{10}=\frac{89}{53},
b_{0}=5-\frac{89}{53}=\frac{265-89}{53}=\frac{176}{53}\approx 3,320755.
Logo a reta ajustada é
\hat y = \frac{176}{53} + \frac{10}{53}\,x.

Passo 5

Calcular os valores ajustados \hat y_i, os resíduos e_i=y_i-\hat y_i e, finalmente, D=\sum e_i^2. Para facilitar, observamos que
\hat y_i = \frac{176+10x_i}{53}.
Calculamos e_i e e_i^2 exatamente quando possível:
Para i=1 ( x_1=6,5):
\hat y_1=\frac{176+10\cdot6,5}{53}=\frac{241}{53},\quad e_1=4,5-\frac{241}{53}=-\frac{5}{106},
e_1^2=\frac{25}{11236}.
Para i=2 ( x_2=7,5):
\hat y_2=\frac{176+10\cdot7,5}{53}=\frac{251}{53},\quad e_2=6,0-\frac{251}{53}=\frac{67}{53},
e_2^2=\frac{4489}{2809}.
Para i=3 ( x_3=8,5):
\hat y_3=\frac{176+10\cdot8,5}{53}=\frac{261}{53},\quad e_3=5,0-\frac{261}{53}=\frac{4}{53},
e_3^2=\frac{16}{2809}.
Para i=4 ( x_4=9,5):
\hat y_4=\frac{176+10\cdot9,5}{53}=\frac{271}{53},\quad e_4=3,0-\frac{271}{53}=-\frac{112}{53},
e_4^2=\frac{12544}{2809}.
Para i=5 ( x_5=12,5):
\hat y_5=\frac{176+10\cdot12,5}{53}=\frac{301}{53},\quad e_5=6,5-\frac{301}{53}=\frac{87}{106},
e_5^2=\frac{7569}{11236}.

Passo 6

Somar os quadrados dos resíduos para obter D. Para somar convenientemente, colocamos tudo sobre o mesmo denominador 11236=106^2=4\cdot2809. Convertendo:
e_1^2=\frac{25}{11236},\quad e_2^2=\frac{4489}{2809}=\frac{17956}{11236},
e_3^2=\frac{16}{2809}=\frac{64}{11236},\quad e_4^2=\frac{12544}{2809}=\frac{50176}{11236},
e_5^2=\frac{7569}{11236}.
Somando numeradores:
25+17956+64+50176+7569=75790.
Logo
D=\sum_{i=1}^{5} e_i^2=\frac{75790}{11236}.
Simplificando o quociente (dividindo numerador e denominador por 53):
\frac{75790}{11236}=\frac{715}{106}\approx 6,745283.

Resposta

b_{0}=\dfrac{176}{53}\\ (\approx 3,3207547)
b_{1}=\dfrac{10}{53}\\ (\approx 0,1886792)
D=\dfrac{715}{106}\\ (\approx 6,7452830)

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