A função é (x,y)\mapsto \dfrac{x^{2}\sin^{2} y}{x^{2}+2y^{2}}.
O ponto de aproximação é (0,0).
A tarefa é calcular o limite quando (x,y) tende a (0,0).
Passo 2
Vamos usar uma desigualdade importante sobre o seno que nos permite controlar o numerador. Para todo y\in\mathbb{R} vale
|\sin y|\le |y|.
Pequena explicação (por que isso é verdade): considere f(t)=\sin t. Pelo Teorema do Valor Médio, para y\neq0 existe c entre 0 e y tal que
\frac{\sin y-0}{y-0}=f'\text{(c)}=\cos c.
Logo \dfrac{\sin y}{y}=\cos c e, tomando valor absoluto, \left|\dfrac{\sin y}{y}\right|=|\cos c|\le1, o que dá |\sin y|\le|y|. Para y=0 a desigualdade é trivial. Ao elevar ao quadrado obtemos
\sin^{2}y \le y^{2}.
Passo 3
Usando \sin^{2}y\le y^{2} obtemos uma estimativa superior para a função dada: