lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} \frac{x^{2} \operatorname{sen}^{2} y}{x^{2}+2 y^{2}}\

Passo 1

O enunciado pede o valor do limite
\lim_{(x,y)\to(0,0)} \frac{x^{2}\sin^{2} y}{x^{2}+2y^{2}}.
Informações dadas:
  • A função é (x,y)\mapsto \dfrac{x^{2}\sin^{2} y}{x^{2}+2y^{2}}.
  • O ponto de aproximação é (0,0).
  • A tarefa é calcular o limite quando (x,y) tende a (0,0).

Passo 2

Vamos usar uma desigualdade importante sobre o seno que nos permite controlar o numerador. Para todo y\in\mathbb{R} vale
|\sin y|\le |y|.
Pequena explicação (por que isso é verdade): considere f(t)=\sin t. Pelo Teorema do Valor Médio, para y\neq0 existe c entre 0 e y tal que
\frac{\sin y-0}{y-0}=f'\text{(c)}=\cos c.
Logo \dfrac{\sin y}{y}=\cos c e, tomando valor absoluto, \left|\dfrac{\sin y}{y}\right|=|\cos c|\le1, o que dá |\sin y|\le|y|. Para y=0 a desigualdade é trivial. Ao elevar ao quadrado obtemos
\sin^{2}y \le y^{2}.

Passo 3

Usando \sin^{2}y\le y^{2} obtemos uma estimativa superior para a função dada:
0 \le \frac{x^{2}\sin^{2}y}{x^{2}+2y^{2}} \le \frac{x^{2}y^{2}}{x^{2}+2y^{2}}.
Agora comparemos denominadores: x^{2}+2y^{2}\ge x^{2}+y^{2}. Como o denominador maior torna a fração menor, segue
\frac{x^{2}y^{2}}{x^{2}+2y^{2}} \le \frac{x^{2}y^{2}}{x^{2}+y^{2}}.
Usamos a desigualdade geral para a,b\ge0:
\frac{ab}{a+b}\le b,
pois multiplicando ambos os lados por a+b>0 obtemos ab\le ab+b^{2}, que é verdadeira. Aplicando com a=x^{2} e b=y^{2}
\frac{x^{2}y^{2}}{x^{2}+y^{2}}\le y^{2}.
Combinando as desigualdades anteriores temos
0 \le \frac{x^{2}\sin^{2}y}{x^{2}+2y^{2}} \le y^{2}.

Passo 4

Agora aplicamos o Teorema do Confronto (squeeze theorem). Como para todo (x,y) suficientemente próximo de (0,0) vale
0 \le \frac{x^{2}\sin^{2}y}{x^{2}+2y^{2}} \le y^{2},
e sabemos que
\lim_{(x,y)\to(0,0)} y^{2}=0,
pela desigualdade enforcada a expressão está “espremida” entre 0 e algo que tende a 0. Portanto o limite pedido é 0.

Resposta

0

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