lim _{(x, y, z) \rightarrow(0,0,0)} \frac{y z}{x^{2}+4 y^{2}+9 z^{2}}\

Passo 1

O enunciado pede o seguinte limite:
\lim_{(x,y,z)\to(0,0,0)} \frac{y z}{x^{2}+4 y^{2}+9 z^{2}}.
Informações relevantes que temos:
  • A função em questão é f(x,y,z)=\dfrac{y z}{x^{2}+4 y^{2}+9 z^{2}}.
  • O ponto onde queremos o limite é (0,0,0).
  • O numerador é do tipo produto de duas coordenadas ( y z) e o denominador é soma de quadrados ponderados ( x^{2}+4y^{2}+9z^{2}), que é sempre não negativo e é zero apenas em (0,0,0).
  • O enunciado não dá um método obrigatório, então precisamos decidir como investigar se o limite existe e qual é seu valor.

Passo 2

Breve explicação do método escolhido (por que escolhi isso): para limites de funções de várias variáveis uma maneira prática de mostrar que o limite NÃO existe é encontrar duas curvas (dois caminhos) que chegam ao mesmo ponto (0,0,0) e que produzem limites diferentes para a função. Se esses limites ao longo dos caminhos diferirem, o limite multivariável não existe, por definição: quando o limite existe, o valor tem que ser o mesmo para qualquer forma de se aproximar do ponto. Vou usar esse método porque a estrutura da função — numerador sendo produto yz e denominador sendo soma de quadrados — costuma produzir dependência do “ângulo” de aproximação, e é simples testar caminhos lineares do tipo y=t, z=kt, x= alguma função (por exemplo 0).

Passo 3

Avaliação ao longo do caminho x=0, y=t, z=t (com t\to0). Substituindo:
\frac{y z}{x^{2}+4 y^{2}+9 z^{2}} = \frac{t\cdot t}{0^{2}+4t^{2}+9t^{2}} = \frac{t^{2}}{13t^{2}}.
Como t\neq0 nesse procedimento de aproximação, podemos simplificar t^{2}:
\frac{t^{2}}{13t^{2}}=\frac{1}{13}.
Portanto, ao aproximar por esse caminho:
\lim_{t\to0}\frac{y z}{x^{2}+4 y^{2}+9 z^{2}}=\frac{1}{13}.

Passo 4

Avaliação ao longo do caminho x=0, y=t, z=0 (com t\to0). Substituindo:
\frac{y z}{x^{2}+4 y^{2}+9 z^{2}} = \frac{t\cdot 0}{0^{2}+4t^{2}+9\cdot 0^{2}} = 0.
Portanto, ao aproximar por esse outro caminho:
\lim_{t\to0}\frac{y z}{x^{2}+4 y^{2}+9 z^{2}}=0.

Passo 5

Conclusão a partir das duas avaliações: pelo caminho y=z=t,\\ x=0 o limite vale \tfrac{1}{13}; pelo caminho y=t,\\ z=0,\\ x=0 o limite vale 0. Como esses valores são diferentes, a função não tem um único valor-limite quando (x,y,z)\to(0,0,0). Pela definição de limite em várias variáveis, isso basta para afirmar que o limite não existe.

Passo 6

Observação didática extra (ajuda para a prova): se quiser ver rapidamente como o valor depende da direção, considere caminhos lineares do tipo x=0, y=t, z=k t com k fixo; substituindo obtemos
\frac{y z}{x^{2}+4 y^{2}+9 z^{2}}=\frac{t\cdot (k t)}{0+4t^{2}+9k^{2}t^{2}}=\frac{k}{4+9k^{2}}.
Isso mostra que diferentes valores de k produzem diferentes limites (por exemplo k=0 0, k=1 1/13), reforçando que o limite total não existe. Essa é uma técnica frequente em provas: parametrizar por t e um parâmetro k que representa a direção.

Resposta

O limite não existe.

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