Passo 1
O enunciado pede o seguinte limite:
Informações relevantes que temos:
- A função em questão é
. - O ponto onde queremos o limite é
. - O numerador é do tipo produto de duas coordenadas (
) e o denominador é soma de quadrados ponderados ( ), que é sempre não negativo e é zero apenas em . - O enunciado não dá um método obrigatório, então precisamos decidir como investigar se o limite existe e qual é seu valor.
Passo 2
Breve explicação do método escolhido (por que escolhi isso): para limites de funções de várias variáveis uma maneira prática de mostrar que o limite NÃO existe é encontrar duas curvas (dois caminhos) que chegam ao mesmo ponto
e que produzem limites diferentes para a função. Se esses limites ao longo dos caminhos diferirem, o limite multivariável não existe, por definição: quando o limite existe, o valor tem que ser o mesmo para qualquer forma de se aproximar do ponto. Vou usar esse método porque a estrutura da função — numerador sendo produto
e denominador sendo soma de quadrados — costuma produzir dependência do “ângulo” de aproximação, e é simples testar caminhos lineares do tipo
,
,
alguma função (por exemplo
).
Passo 3
Avaliação ao longo do caminho
,
,
(com
). Substituindo:
Como
nesse procedimento de aproximação, podemos simplificar
:
Portanto, ao aproximar por esse caminho:
Passo 4
Avaliação ao longo do caminho
,
,
(com
). Substituindo:
Portanto, ao aproximar por esse outro caminho:
Passo 5
Conclusão a partir das duas avaliações: pelo caminho
o limite vale
; pelo caminho
o limite vale
. Como esses valores são diferentes, a função não tem um único valor-limite quando
. Pela definição de limite em várias variáveis, isso basta para afirmar que o limite não existe.
Passo 6
Observação didática extra (ajuda para a prova): se quiser ver rapidamente como o valor depende da direção, considere caminhos lineares do tipo
,
,
com
fixo; substituindo obtemos
Isso mostra que diferentes valores de
produzem diferentes limites (por exemplo
dá
,
dá
), reforçando que o limite total não existe. Essa é uma técnica frequente em provas: parametrizar por
e um parâmetro
que representa a direção.
Resposta
O limite não existe.