Questão: Seja o campo vetorial no R^3 :
F(x, y, z)=(x+y) i+(x-y) j+(2 z-x) k
(i) (15 pts) O campo F é conservativo em R^3 ? Se for, encontre uma função potencial Phi(x, y, z) tal que nabla Phi=F.
(ii) (15 pts) Calcule a integral de linha do campo F ao longo do quarto de circunferência no plano y=0, que vai do ponto P0=(2,0,0) até o ponto P1=(0,0,2), com centro no ponto médio entre P0 e P1.

Passo 1

O enunciado dá o campo
vec F(x,y,z)=(x+y),vec i + (x-y),vec j + (2z - x),vec k
e pede:
(i) verificar se vec F é conservativo em R^3 e, em caso afirmativo, achar uma potencial Phi tal que nablaPhi=vec F;
(ii) calcular a integral de linha de vec F ao longo do quarto de circunferência em y=0 de P0=(2,0,0) a P1=(0,0,2), cujo centro é o ponto médio de P0P1.
Para (i) usaremos o teste nablatimesvec F=0 e, se não for conservativo, não há potencial global. Para (ii) faremos uma parametrização da curva e calcularemos integralvec Fcdot dvec r.

Passo 2

Calculamos o rotacional
nablatimesvec F = vec i & vec j & vec k partialx & partialy & partialz x+y & x-y & 2z-x =(0,;1,;0)neq(0,0,0)
Como nablatimesvec Fneq0 em R^3, vec F não é conservativo e não existe potencial global Phi.

Passo 3

Para a integral de linha, note que o ponto médio de P0 e P1 é
C=(1,0,1),
o raio vale raiz(2-1)^2+(0-1)^2=raiz2 e a curva está em y=0. Tomamos o parâmetro phiin[-tfracpi4,;3tfracpi4] tal que
vec r(phi) =l(1+raiz2cosphi,;0,;1+raiz2sinphir),
vec r,'(phi) =l(-raiz2sinphi,;0,;raiz2cosphir)

Passo 4

Em y=0 temos
vec F=(x,;x,;2z-x)
Logo, ao longo de vec r(phi),
x(phi)=1+raiz2cosphi, z(phi)=1+raiz2sinphi,
vec F(vec r(phi)) =l(1+raiz2cosphi,;1+raiz2cosphi,;1+2raiz2sinphi-raiz2cosphir)
O produto escalar é
vec Fcdotvec r,' =(1+raiz2cosphi)(-raiz2sinphi) +(1+2raiz2sinphi-raiz2cosphi)(raiz2cosphi)
e, simplificando,
vec Fcdotvec r,' =raiz2cosphi-raiz2sinphi+2sinphicosphi-2cos^2phi

Passo 5

A integral de linha fica
integralCvec Fcdot dvec r =integral-pi/4^3pi/4 l(raiz2cosphi-raiz2sinphi+2sinphicosphi-2cos^2phir),dphi
Calculando termo a termo:
integralraiz2cosphi,dphi=raiz2sinphi, integral(-raiz2sinphi),dphi=raiz2cosphi,
integral2sinphicosphi,dphi =integralsin2phi,dphi=-tfrac12cos2phi, integral-2cos^2phi,dphi =-phi-tfrac12sin2phi
Somando e avaliando de phi=-tfracpi4 até phi=3tfracpi4
integralCvec Fcdot dvec r=-pi

Resposta

(i) vec F não é conservativo em R^3, logo não existe potencial global.
(ii) integralCvec Fcdot dvec r=-pi.

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