(i) (15 pts) O campo é conservativo em ? Se for, encontre uma função potencial tal que .
(ii) (15 pts) Calcule a integral de linha do campo ao longo do quarto de circunferência no plano , que vai do ponto até o ponto , com centro no ponto médio entre e .
Passo 1
O enunciado dá o campo
e pede:
(i) verificar se é conservativo em e, em caso afirmativo, achar uma potencial tal que ;
(ii) calcular a integral de linha de ao longo do quarto de circunferência em de a , cujo centro é o ponto médio de .
Para (i) usaremos o teste e, se não for conservativo, não há potencial global. Para (ii) faremos uma parametrização da curva e calcularemos .
Passo 2
Calculamos o rotacional
Como nablatimesvec Fneq0 em R^3, vec F não é conservativo e não existe potencial global Phi.
Passo 3
Para a integral de linha, note que o ponto médio de P0 e P1 é
C=(1,0,1),
o raio vale raiz(2-1)^2+(0-1)^2=raiz2 e a curva está em y=0. Tomamos o parâmetro phiin[-tfracpi4,;3tfracpi4] tal que