Com respeito a função f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, f(x)=|x-1|, responda as questões abaixo justificando.
  1. f é injetiva? f é sobrejetiva?
  2. f possui uma inversa?
  3. f é uma função par ou ímpar?
  4. f(x) \leq 1 \Leftrightarrow 0 \leq x \leq 2 ?

Passo 1

O enunciado dá a função f:\mathbb{R}\to\mathbb{R} definida por
f(x)=|x-1|.
As perguntas que o enunciado faz são quatro, separadas assim:
  1. f é injetiva? f é sobrejetiva?
  2. f possui uma inversa?
  3. f é uma função par ou ímpar?
  4. A equivalência f(x)\le 1 \Leftrightarrow 0\le x\le 2 é verdadeira?
Lista das informações relevantes dadas:
  • A definição explícita de f: para todo x\in\mathbb{R}, f(x)=|x-1|.
  • O contradomínio indicado é \mathbb{R} (ou seja, a pergunta sobre sobrejetividade é em relação a \mathbb{R}).

Passo 2

Entendendo o valor absoluto e sua forma prática. Aqui vai uma “aula rápida” sobre o que é |\cdot|\) e como manipular: - Por definição, para qualquer número real \(t\), \[|t|=\begin{cases} t, & \text{se } t\ge 0,\\[4pt] -t, & \text{se } t<0. \end{cases}
  • Consequência útil: |t|\ge 0\] para todo \(t, e |t|=0 se e somente se t=0.
  • Para resolver equações |A|=B com B\ge0, equivalemos a A=B ou A=-B.
  • Para desigualdades |A|\le B com B\ge0, usamos -B\le A\le B.
No nosso caso A=x-1. Então f(x)=|x-1| mede a distância entre x e 1 na reta real — isto é uma intuição útil: f(x) é a distância de x até 1.]

Passo 3

Definição e teste de injetividade (passo a passo, sem pular nada).
  • Definição: f é injetiva se, sempre que f(x)=f(y), então \;x=y.
  • Vamos testar: suponha f(x)=f(y). Isso dá
|x-1|=|y-1|.
Pelo fato geral |U|=|V| implica U=V ou U=-V, aplicando com U=x-1 e V=y-1 obtemos duas possibilidades:
  1. x-1=y-1, que simplifica para x=y; ou
  2. x-1=-(y-1), que simplifica para x+y=2.
A segunda possibilidade mostra que existem x\neq y com f(x)=f(y). Por exemplo, x=0 e y=2 satisfazem 0+2=2 e
f(0)=|0-1|=1,\qquad f(2)=|2-1|=1,
mas 0\neq 2. Logo a condição f(x)=f(y) \Rightarrow x=y não vale sempre. Conclusão: f não é injetiva.
Observação útil para a prova: se for pedido, pode-se dizer que f é injetiva se restringida ao intervalo [1,\infty) (aí f(x)=x-1 é injetiva) ou ao intervalo (-\infty,1] (aí f(x)=1-x é injetiva).

Passo 4

Definição e teste de sobrejetividade (passo a passo).
  • Definição: f é sobrejetiva (ou sobre) se para todo y no contradomínio existe x\in\mathbb{R} tal que f(x)=y.
  • Nosso contradomínio dado é \mathbb{R}. Mas lembre: |x-1|\ge 0 para todo x, então f(x) nunca pode ser negativo. Assim, todos os valores negativos de \mathbb{R} não são atingidos por f. Portanto f não pode ser sobrejetiva para o contradomínio \mathbb{R}.
Para ser preciso, calcule a imagem de f:
  • Mostramos que \operatorname{Im}(f)\subseteq [0,\infty) porque |x-1|\ge0.
  • Agora mostre que todo y\ge0 é atingido: dado y\ge0, resolva |x-1|=y. As soluções são x=1+y e x=1-y (ambas reais), então existe x com f(x)=y. Logo [0,\infty)\subseteq\operatorname{Im}(f).
  • Concluímos \operatorname{Im}(f)=[0,\infty).
Como \operatorname{Im}(f)=[0,\infty)\neq\mathbb{R}, f não é sobrejetiva como função de \mathbb{R} em \mathbb{R}. Observação: se o contradomínio fosse escolhido como [0,\infty), então f seria sobrejetiva.

Passo 5

Sobre existência de inversa (explicação didática).
  • Regra prática: uma função possui inversa (função inversa única) se e somente se for bijetiva (ou seja, injetiva e sobrejetiva).
  • Já vimos que f não é injetiva e também não é sobrejetiva (no contradomínio dado \mathbb{R}), logo f não tem inversa como função f^{-1}:\mathbb{R}\to\mathbb{R}.
  • Porém existe uma possibilidade prática muito usada em provas: restringir o domínio ou o contradomínio para obter bijetividade.
    • Se restringirmos o domínio a [1,\infty) e o contradomínio a [0,\infty), então f se torna f(x)=x-1 nesse domínio, que é bijetiva, e a inversa é f^{-1}(y)=1+y,\qquad y\in[0,\infty).
    • Se restringirmos o domínio a (-\infty,1] e o contradomínio a [0,\infty), então f(x)=1-x nesse domínio, bijetiva, e a inversa é f^{-1}(y)=1-y,\qquad y\in[0,\infty).
  • Também existe a noção de inversa multivalorada (a pré-imagem): para y>0 a pré-imagem é o conjunto \{1+y,\,1-y\}. Mas isso não é uma função única da maneira usual.
Resumo: sem restrições f não possui inversa como função única; com restrição adequada do domínio pode-se definir uma inversa.

Passo 6

Definição e teste de paridade (função par ou ímpar).
  • Definição: f é par se, para todo x, f(-x)=f(x). f é ímpar se, para todo x, f(-x)=-f(x).
  • Calcule f(-x):
f(-x)=|-x-1|=|-(x+1)|=|x+1|.
Comparar f(-x)=|x+1| com f(x)=|x-1|.
  • Para ser par precisaríamos ter |x+1|=|x-1| para todo x. Isso não vale em geral: por exemplo, para x=2,
f(2)=|2-1|=1,\qquad f(-2)=|(-2)-1|=|-3|=3,
portanto f(-2)\neq f(2). Logo f não é par.
  • Para ser ímpar precisaríamos ter |x+1|=-|x-1| para todo x. O lado direito é não-positivo e o lado esquerdo é não-negativo, então a igualdade só poderia acontecer em casos muito especiais (apenas quando ambos forem zero), não para todo x. Por exemplo, com x=2 temos 3\neq -1. Logo f não é ímpar.
    Conclusão: f não é nem par nem ímpar.

Passo 7

Resolver a desigualdade e verificar a equivalência pedida:
Queremos resolver |x-1|\le 1.
  • Usando a propriedade de desigualdades para valor absoluto (com B=1\ge0):
|x-1|\le 1 \iff -1 \le x-1 \le 1.
  • Somando 1 em todas as partes da desigualdade obtemos
0 \le x \le 2.
Isso mostra a equivalência pedida: |x-1|\le 1 se e somente se 0\le x \le 2.
Checagem por exemplo: para x=0 a desigualdade dá |0-1|=1\le1 (verdadeiro). Para x=1{,}5 |1{,}5-1|=0{,}5\le1 (verdadeiro). Para x=3 |3-1|=2\not\le1 (falso), como esperado.

Passo 8

Pequeno resumo final (rápido e encorajador): concluímos passo a passo as respostas às quatro perguntas e mostramos também como obter inversas ao restringir domínio. Continue praticando exemplos parecidos (mudar o centro do valor absoluto, por exemplo g(x)=|x-a|) — o raciocínio é análogo.

Resposta

  1. Injetiva? Não. Sobrejetiva? Não (imagem [0,\infty)).
  2. Possui inversa? Não como função \mathbb{R}\to\mathbb{R} (não é bijetiva). Com restrição do domínio a [1,\infty) ou a (-\infty,1] obtém-se inversas unívocas: f^{-1}(y)=1+y ou f^{-1}(y)=1-y em [0,\infty).
  3. Nem par nem ímpar.
  4. Verdadeiro: |x-1|\le 1 \iff 0\le x\le 2.

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