Com respeito a função
, responda as questões abaixo justificando.
-
é injetiva?
é sobrejetiva?
-
possui uma inversa?
-
é uma função par ou ímpar?
-
?
Passo 1
O enunciado dá a função
definida por
As perguntas que o enunciado faz são quatro, separadas assim:
-
é injetiva? é sobrejetiva? -
possui uma inversa? -
é uma função par ou ímpar? - A equivalência
é verdadeira?
Lista das informações relevantes dadas:
- A definição explícita de
: para todo , . - O contradomínio indicado é
(ou seja, a pergunta sobre sobrejetividade é em relação a ).
Passo 2
Entendendo o valor absoluto e sua forma prática. Aqui vai uma “aula rápida” sobre o que é
- Consequência útil:
, e
se e somente se . - Para resolver equações
com , equivalemos a ou . - Para desigualdades
com , usamos .
No nosso caso
. Então
mede a distância entre
e
na reta real — isto é uma intuição útil:
é a distância de
até
.]
Passo 3
Definição e teste de injetividade (passo a passo, sem pular nada).
- Definição:
é injetiva se, sempre que , então . - Vamos testar: suponha
. Isso dá
Pelo fato geral
implica
ou
, aplicando com
e
obtemos duas possibilidades:
-
, que simplifica para ; ou -
, que simplifica para .
A segunda possibilidade mostra que existem
com
. Por exemplo,
e
satisfazem
e
mas
. Logo a condição
não vale sempre. Conclusão:
não é injetiva.
Observação útil para a prova: se for pedido, pode-se dizer que
é injetiva se restringida ao intervalo
(aí
é injetiva) ou ao intervalo
(aí
é injetiva).
Passo 4
Definição e teste de sobrejetividade (passo a passo).
- Definição:
é sobrejetiva (ou sobre) se para todo no contradomínio existe tal que . - Nosso contradomínio dado é
. Mas lembre: para todo , então nunca pode ser negativo. Assim, todos os valores negativos de não são atingidos por . Portanto não pode ser sobrejetiva para o contradomínio .
Para ser preciso, calcule a imagem de
:
- Mostramos que
porque . - Agora mostre que todo
é atingido: dado , resolva . As soluções são e (ambas reais), então existe com . Logo . - Concluímos
.
Como
,
não é sobrejetiva como função de
em
. Observação: se o contradomínio fosse escolhido como
, então
seria sobrejetiva.
Passo 5
Sobre existência de inversa (explicação didática).
- Regra prática: uma função possui inversa (função inversa única) se e somente se for bijetiva (ou seja, injetiva e sobrejetiva).
- Já vimos que
não é injetiva e também não é sobrejetiva (no contradomínio dado ), logo não tem inversa como função . - Porém existe uma possibilidade prática muito usada em provas: restringir o domínio ou o contradomínio para obter bijetividade.
- Se restringirmos o domínio a
e o contradomínio a , então se torna nesse domínio, que é bijetiva, e a inversa é - Se restringirmos o domínio a
e o contradomínio a , então nesse domínio, bijetiva, e a inversa é
- Se restringirmos o domínio a
- Também existe a noção de inversa multivalorada (a pré-imagem): para
a pré-imagem é o conjunto . Mas isso não é uma função única da maneira usual.
Resumo: sem restrições
não possui inversa como função única; com restrição adequada do domínio pode-se definir uma inversa.
Passo 6
Definição e teste de paridade (função par ou ímpar).
- Definição:
é par se, para todo , . é ímpar se, para todo , . - Calcule
:
Comparar
com
.
- Para ser par precisaríamos ter
para todo . Isso não vale em geral: por exemplo, para ,
portanto
. Logo
não é par.
- Para ser ímpar precisaríamos ter
para todo . O lado direito é não-positivo e o lado esquerdo é não-negativo, então a igualdade só poderia acontecer em casos muito especiais (apenas quando ambos forem zero), não para todo . Por exemplo, com temos . Logo não é ímpar.
Conclusão:não é nem par nem ímpar.
Passo 7
Resolver a desigualdade e verificar a equivalência pedida:
Queremos resolver .
Queremos resolver
- Usando a propriedade de desigualdades para valor absoluto (com
):
- Somando
em todas as partes da desigualdade obtemos
Isso mostra a equivalência pedida:
se e somente se
.
Checagem por exemplo: para
a desigualdade dá
(verdadeiro). Para
dá
(verdadeiro). Para
dá
(falso), como esperado.
Passo 8
Pequeno resumo final (rápido e encorajador): concluímos passo a passo as respostas às quatro perguntas e mostramos também como obter inversas ao restringir domínio. Continue praticando exemplos parecidos (mudar o centro do valor absoluto, por exemplo
) — o raciocínio é análogo.
Resposta
- Injetiva? Não. Sobrejetiva? Não (imagem
). - Possui inversa? Não como função
(não é bijetiva). Com restrição do domínio a ou a obtém-se inversas unívocas: ou em . - Nem par nem ímpar.
- Verdadeiro:
.