Sejam f e g funções tais que as imagens de alguns elementos são dadas pela tabela abaixo. Complete os valores da tabela sempre que isso for possível.
x -2 -1 0 1 2 3
f(x) 0 1 3 -2 -1 1
g(x) 2 -2 1 -1 4 0
(f \circ f)(x)
(f \circ g)(x)
(g \circ f)(x)
(g \circ g)(x)

Passo 1

O que o enunciado pede: completar os valores das composições (f\circ f)(x), (f\circ g)(x), (g\circ f)(x) e (g\circ g)(x) para x\in\{-2,-1,0,1,2,3\}, sempre que isso for possível.
Informações dadas (peguei estes números da tabela do enunciado):
  • Para x=-2,-1,0,1,2,3:
    • f(-2)=0,\; f(-1)=1,\; f(0)=3,\; f(1)=-2,\; f(2)=-1,\; f(3)=1.
    • g(-2)=2,\; g(-1)=-2,\; g(0)=1,\; g(1)=-1,\; g(2)=4,\; g(3)=0.

Passo 2

Definição e ideia prática (pequena aula): a composição f\circ g é a função que aplica g primeiro e depois f. Em notação:
(f\circ g)(x)=f\bigl(g(x)\bigr).
Para calcular (f\circ g)(x) a partir da tabela: primeiro encontro g(x) usando a linha de g, e depois avalio f no valor g(x) usando a linha de f. Se o valor g(x) não aparecer como uma entrada x para a qual f esteja fornecido, então não é possível completar esse valor da composição a partir da tabela (não há informação de f nesse argumento).
A mesma ideia vale para (g\circ f)(x)=g(f(x)), (f\circ f)(x)=f(f(x)) e (g\circ g)(x)=g(g(x)).

Passo 3

Calcular (f\circ f)(x)=f(f(x)) passo a passo, para cada x:
  • Para x=-2: peguei f(-2)=0 da tabela, e então f(0)=3 da tabela. Logo (f\circ f)(-2)=3.
  • Para x=-1: f(-1)=1 (tabela), e f(1)=-2 (tabela). Logo (f\circ f)(-1)=-2.
  • Para x=0: f(0)=3, e f(3)=1. Logo (f\circ f)(0)=1.
  • Para x=1: f(1)=-2, e f(-2)=0. Logo (f\circ f)(1)=0.
  • Para x=2: f(2)=-1, e f(-1)=1. Logo (f\circ f)(2)=1.
  • Para x=3: f(3)=1, e f(1)=-2. Logo (f\circ f)(3)=-2.
Resumo interativo: todas as saídas de f que apareceram são entradas conhecidas de f, portanto todos os valores de (f\circ f)(x) puderam ser calculados.

Passo 4

Calcular (f\circ g)(x)=f(g(x)) passo a passo:
  • Para x=-2: g(-2)=2 (tabela), e f(2)=-1 (tabela). Portanto (f\circ g)(-2)=-1.
  • Para x=-1: g(-1)=-2, e f(-2)=0. Portanto (f\circ g)(-1)=0.
  • Para x=0: g(0)=1, e f(1)=-2. Portanto (f\circ g)(0)=-2.
  • Para x=1: g(1)=-1, e f(-1)=1. Portanto (f\circ g)(1)=1.
  • Para x=2: g(2)=4. Agora olho se f(4) está disponível na tabela: NÃO está (na tabela só há valores de f para entradas -2,-1,0,1,2,3). Então não é possível determinar (f\circ g)(2) com a informação dada.
  • Para x=3: g(3)=0, e f(0)=3. Portanto (f\circ g)(3)=3.
Observação: só ficou indefinido o caso x=2 porque g(2)=4 e a tabela não diz f(4).

Passo 5

Calcular (g\circ f)(x)=g(f(x)) passo a passo:
  • Para x=-2: f(-2)=0, e g(0)=1. Logo (g\circ f)(-2)=1.
  • Para x=-1: f(-1)=1, e g(1)=-1. Logo (g\circ f)(-1)=-1.
  • Para x=0: f(0)=3, e g(3)=0. Logo (g\circ f)(0)=0.
  • Para x=1: f(1)=-2, e g(-2)=2. Logo (g\circ f)(1)=2.
  • Para x=2: f(2)=-1, e g(-1)=-2. Logo (g\circ f)(2)=-2.
  • Para x=3: f(3)=1, e g(1)=-1. Logo (g\circ f)(3)=-1.
Aqui todas as avaliações foram possíveis porque cada f(x) encontrado está entre as entradas para as quais g foi dado.

Passo 6

Calcular (g\circ g)(x)=g(g(x)) passo a passo:
  • Para x=-2: g(-2)=2, e g(2)=4. Logo (g\circ g)(-2)=4.
  • Para x=-1: g(-1)=-2, e g(-2)=2. Logo (g\circ g)(-1)=2.
  • Para x=0: g(0)=1, e g(1)=-1. Logo (g\circ g)(0)=-1.
  • Para x=1: g(1)=-1, e g(-1)=-2. Logo (g\circ g)(1)=-2.
  • Para x=2: g(2)=4. Preciso de g(4), mas a tabela NÃO fornece g(4) (só há valores para entradas -2,-1,0,1,2,3). Portanto (g\circ g)(2) não pode ser determinado a partir da tabela dada.
  • Para x=3: g(3)=0, e g(0)=1. Logo (g\circ g)(3)=1.
Resumo: todas as composições foram calculadas exceto (f\circ g)(2) e (g\circ g)(2), que são indefinidas com a informação disponível porque exigiriam f(4) e g(4), respectivamente, não fornecidos.

Resposta

(f\circ f)(-2)=3,\\ (f\circ f)(-1)=-2,\\ (f\circ f)(0)=1,\\ (f\circ f)(1)=0,\\ (f\circ f)(2)=1,\\ (f\circ f)(3)=-2
(f\circ g)(-2)=-1,\\ (f\circ g)(-1)=0,\\ (f\circ g)(0)=-2,\\ (f\circ g)(1)=1,\\ (f\circ g)(2)\\ \text{indefinido},\\ (f\circ g)(3)=3
(g\circ f)(-2)=1,\\ (g\circ f)(-1)=-1,\\ (g\circ f)(0)=0,\\ (g\circ f)(1)=2,\\ (g\circ f)(2)=-2,\\ (g\circ f)(3)=-1
(g\circ g)(-2)=4,\\ (g\circ g)(-1)=2,\\ (g\circ g)(0)=-1,\\ (g\circ g)(1)=-2,\\ (g\circ g)(2)\\ \text{indefinido},\\ (g\circ g)(3)=1

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