Considere as funções reais dadas por
\begin{gathered} f(x)=3 x-2 \\\ g(x)=x^{2}-3 x-4 \end{gathered}
Encontre a função m(x) tal que m \circ f=4 g.

Passo 1

O enunciado dá as duas funções reais:
f(x)=3x-2
g(x)=x^{2}-3x-4
E pede: encontrar a função m tal que
m\circ f = 4g.
Isto significa, explicitamente, que a condição que queremos satisfazer é
m\bigl(f(x)\bigr)=4\,g(x)\quad\text{para todo }x\in\mathbb{R}.
As informações relevantes são as expressões de f e g acima e a exigência de que m(f(x)) seja igual a 4g(x) para todo x.

Passo 2

Ideia geral e justificativa do método (sem calcular ainda): se f for bijetora (ou pelo menos sobrejetora), então cada valor y no contradomínio de f tem uma origem x tal que y=f(x). Nesse caso, a igualdade m(f(x))=4g(x) para todo x determina m unicamente por
m(y)=4\,g\bigl(f^{-1}(y)\bigr),
onde f^{-1} é a inversa de f. Vou seguir esse caminho: mostrar que f é invertível, encontrar f^{-1}, compor g com f^{-1} e multiplicar por 4.

Passo 3

Encontrar f^{-1}. Começo escrevendo y=f(x) e resolvendo para x:
y=3x-2.
Isolando x,
3x = y+2 \quad\Rightarrow\quad x=\dfrac{y+2}{3}.
Portanto a inversa de f é
f^{-1}(y)=\dfrac{y+2}{3}.
Observação rápida: isso é válido porque f é uma função afim com coeficiente angular 3\neq0, logo é bijetora sobre \mathbb{R}.

Passo 4

Calcular g\bigl(f^{-1}(y)\bigr). Denote
u=f^{-1}(y)=\dfrac{y+2}{3}.
Então
g(u)=u^{2}-3u-4.
Calculo cada termo com cuidado:
u^{2}=\left(\dfrac{y+2}{3}\right)^{2}=\dfrac{(y+2)^{2}}{9}=\dfrac{y^{2}+4y+4}{9},
-3u=-3\cdot\dfrac{y+2}{3}=-(y+2)=-y-2.
Somando os termos em g(u):
g(u)=\dfrac{y^{2}+4y+4}{9}-y-2-4.
Agrupo os termos não fracionários e passo tudo para denominador 9:
-y-2-4 = -y-6 = \dfrac{-9y-54}{9}.
Assim
g\bigl(f^{-1}(y)\bigr)=\dfrac{y^{2}+4y+4}{9}+\dfrac{-9y-54}{9}=\dfrac{y^{2}+4y+4-9y-54}{9}.
Simplificando o numerador:
y^{2}+4y+4-9y-54 = y^{2}-5y-50.
Portanto
g\bigl(f^{-1}(y)\bigr)=\dfrac{y^{2}-5y-50}{9}.

Passo 5

Agora uso a fórmula da Passo 2 para obter m. Temos
m(y)=4\,g\bigl(f^{-1}(y)\bigr)=4\cdot\dfrac{y^{2}-5y-50}{9}.
Para escrever m na notação habitual de função de variável x, basta renomear a variável independente y por x. Assim, a expressão de m é
m(x)=4\cdot\dfrac{x^{2}-5x-50}{9}.

Passo 6

Verificação rápida (substituição direta) para garantir que a construção funciona: compor m com f usando a forma m(y)=4\cdot\dfrac{y^{2}-5y-50}{9} e y=f(x)=3x-2.
Calculo m(f(x)):
m\bigl(f(x)\bigr)=4\cdot\dfrac{\bigl(f(x)\bigr)^{2}-5\,f(x)-50}{9}.
Como f(x)=3x-2, calcule:
\bigl(3x-2\bigr)^{2}=9x^{2}-12x+4,
-5(3x-2)=-15x+10.
Somando no numerador:
9x^{2}-12x+4 -15x+10 -50 = 9x^{2}-27x-36.
Dividindo por 9 e multiplicando por 4:
m\bigl(f(x)\bigr)=4\cdot\dfrac{9x^{2}-27x-36}{9}=4\bigl(x^{2}-3x-4\bigr)=4\,g(x).
A igualdade desejada está verificada.

Passo 7

Resumo final do método: usamos o fato de que f é invertível, escrevemos m como 4 vezes g composta com f^{-1}, fizemos a substituição e simplificamos. Confere e funciona para todo x. Força aí — o método de inverter uma função linear e compor é uma técnica que aparece sempre em exercícios desse tipo e é bem prática na prova!

Resposta

m(x)=\dfrac{4x^{2}-20x-200}{9}

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