Considere as funções reais dadas por
Encontre a função
tal que
.
Passo 1
O enunciado dá as duas funções reais:
E pede: encontrar a função
tal que
Isto significa, explicitamente, que a condição que queremos satisfazer é
As informações relevantes são as expressões de
e
acima e a exigência de que
seja igual a
para todo
.
Passo 2
Ideia geral e justificativa do método (sem calcular ainda): se
for bijetora (ou pelo menos sobrejetora), então cada valor
no contradomínio de
tem uma origem
tal que
. Nesse caso, a igualdade
para todo
determina
unicamente por
onde
é a inversa de
. Vou seguir esse caminho: mostrar que
é invertível, encontrar
, compor
com
e multiplicar por
.
Passo 3
Encontrar
. Começo escrevendo
e resolvendo para
:
Isolando
,
Portanto a inversa de
é
Observação rápida: isso é válido porque
é uma função afim com coeficiente angular
, logo é bijetora sobre
.
Passo 4
Calcular
. Denote
Então
Calculo cada termo com cuidado:
Somando os termos em
:
Agrupo os termos não fracionários e passo tudo para denominador
:
Assim
Simplificando o numerador:
Portanto
Passo 5
Agora uso a fórmula da Passo 2 para obter
. Temos
Para escrever
na notação habitual de função de variável
, basta renomear a variável independente
por
. Assim, a expressão de
é
Passo 6
Verificação rápida (substituição direta) para garantir que a construção funciona: compor
com
usando a forma
e
.
Calculo :
Calculo
Como
, calcule:
Somando no numerador:
Dividindo por
e multiplicando por
:
A igualdade desejada está verificada.
Passo 7
Resumo final do método: usamos o fato de que
é invertível, escrevemos
como
vezes
composta com
, fizemos a substituição e simplificamos. Confere e funciona para todo
. Força aí — o método de inverter uma função linear e compor é uma técnica que aparece sempre em exercícios desse tipo e é bem prática na prova!