A respeito da radiação eletromagnética:
Qual a relação da energia de um fóton e o comprimento de onda da radiação?

Passo 1

O enunciado pergunta qual é a relação entre a energia de um fóton e o comprimento de onda da radiação. Informações relevantes que vamos usar:
  • Energia do fóton: variável E.
  • Comprimento de onda da radiação: variável \lambda.
  • Constantes físicas necessárias: constante de Planck h e velocidade da luz no vácuo c.

Passo 2

Primeira fórmula fundamental: a relação de Planck entre energia e frequência. Ela diz que a energia de um fóton é proporcional à frequência da onda eletromagnética:
E = h\,\nu
onde:
  • E é a energia do fóton (unidade padrão: joule, \mathrm{J}),
  • h é a constante de Planck ( h = 6,62607015\times10^{-34}\\ \mathrm{J\cdot s}),
  • \nu (leia “nu”) é a frequência da radiação (unidade: hertz, \mathrm{Hz} = \mathrm{s^{-1}}).
Explicação didática: essa fórmula diz que cada “pacotinho” de luz (fóton) tem energia igual a uma constante fixa vezes a frequência da onda. Quanto maior a frequência, maior a energia.

Passo 3

Relação entre frequência e comprimento de onda para ondas eletromagnéticas no vácuo:
\nu = \frac{c}{\lambda}
onde:
  • c é a velocidade da luz no vácuo ( c = 299\,792\,458\\ \mathrm{m\cdot s^{-1}}),
  • \lambda é o comprimento de onda (unidade: metro, \mathrm{m}).
Explicação didática: a frequência e o comprimento de onda são duas maneiras de descrever a mesma oscilação; se a onda viaja mais rápido (fixo c) e o comprimento de onda é menor, a frequência precisa ser maior.

Passo 4

Substituindo \nu = \dfrac{c}{\lambda} na relação de Planck E = h\nu, obtemos a relação direta entre energia e comprimento de onda:
E = h\,\nu = h\,\frac{c}{\lambda} \quad\Rightarrow\quad E = \frac{h\,c}{\lambda}.
Interpretação simples: a energia de um fóton é inversamente proporcional ao comprimento de onda — se \lambda diminui, E aumenta.

Passo 5

Vamos dar valores práticos ao produto h c para facilitar cálculos:
h c \approx 1,98644586\times10^{-25}\\ \mathrm{J\cdot m}.
Convertendo para unidades usadas em espectroscopia (eV e nm):
h c \approx 1\,239,84193\\ \mathrm{eV\cdot nm}\approx 1\,240\\ \mathrm{eV\cdot nm}.
Explicação: usar h c já calculado evita multiplicações repetidas; a forma em \mathrm{eV\cdot nm} é muito prática porque comprimentos de onda costumam vir em nanômetros.

Passo 6

Exemplo numérico passo a passo (sem calculadora complicada) para entender como aplicar a fórmula:
  • Pegue \lambda = 500\\ \mathrm{nm} = 5,00\times10^{-7}\\ \mathrm{m}.
  • Use h c \approx 1,986\times10^{-25}\\ \mathrm{J\cdot m}.
E = \frac{h c}{\lambda} \approx \frac{1,986\times10^{-25}}{5,00\times10^{-7}} = 3,972\times10^{-19}\\ \mathrm{J}.
  • Se quiser em elétron-volts, use 1\\ \mathrm{eV}=1,602176634\times10^{-19}\\ \mathrm{J}:
E \approx \frac{3,972\times10^{-19}}{1,602\times10^{-19}}\approx 2,48\\ \mathrm{eV}.
Ou, usando a forma prática E(\mathrm{eV})\approx \dfrac{1\,240}{\lambda(\mathrm{nm})}:
E\approx \frac{1\,240}{500}=2,48\\ \mathrm{eV}.

Passo 7

Consequências intuitivas e exemplos rápidos:
  • Relação inversa: \lambda\downarrow \Rightarrow E\uparrow. Raios gama ( \lambda muito pequeno) têm fótons de alta energia; ondas de rádio ( \lambda muito grande) têm fótons de baixa energia.
  • Exemplo rápido: \lambda=0{,}1\\ \mathrm{nm} (raios X) dá E\approx \dfrac{1\,240}{0{,}1}=12\,400\\ \mathrm{eV}=12{,}4\\ \mathrm{keV}.

Passo 8

Resumo final em linguagem direta e amigável: a energia de um fóton é dada por uma fórmula bem simples que conecta as partes que conhecemos — a constante de Planck, a velocidade da luz e o comprimento de onda:
E = \frac{h\,c}{\lambda}.
Força aí — com essa fórmula dá pra calcular energia de qualquer fóton se souber o comprimento de onda, e decorar que energia cresce quando o comprimento de onda diminui!

Resposta

E = h\,\nu = \dfrac{h\,c}{\lambda}

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