Com respeito à série
podemos dizer que:
(a) Esta série diverge para
.
(b) Esta série diverge para
.
(c) Esta série converge para um número real negativo.
(d) Nenhuma das outras alternativas é verdadeira.
(e) Esta série converge para zero.
(f) Esta série converge para um número real positivo.
(a) Esta série diverge para
(b) Esta série diverge para
(c) Esta série converge para um número real negativo.
(d) Nenhuma das outras alternativas é verdadeira.
(e) Esta série converge para zero.
(f) Esta série converge para um número real positivo.
Passo 1
O enunciado dá a série
e pede que se escolha entre as alternativas (a)–(f). Vou listar o que nos foi dado e o que se pergunta, sem resolver ainda:
- Dado: a sequência de termos
para . - Pergunta: a série
diverge para , diverge para , converge para número real negativo, converge para zero, converge para número real positivo, ou nenhuma das anteriores? (as opções (a)–(f) correspondem a essas afirmações).
Passo 2
Primeira observação útil (muito simples e importante): cada termo é positivo. Explicitamente,
porque
e
. Portanto:
- A soma parcial é sempre não negativa e não pode tender a um número negativo.
- A série não pode divergir para
.
Isto elimina imediatamente a alternativa (b) e qualquer alternativa que afirme soma negativa.
Passo 3
Condição necessária para convergência: os termos devem tender a zero. Vamos checar:
fazendo (ou raciocinar diretamente), temos
fazendo
pois
tende a zero muito mais rápido que
cresce. Então a condição necessária é satisfeita. Atenção: isso não garante convergência da série, só diz que não é imediatamente impossível.
Passo 4
Escolha do método: como os termos são positivos e a expressão tem forma contínua razoável quando
é visto como uma variável real
, o Teste da Integral (teste integral) é uma boa ferramenta — é simples e direto aqui. Vou usar o Teste da Integral de Cauchy (ou critério da integral):
- Se
é positiva, contínua e decrescente para , então a série converge se, e somente se, a integral converge (é finita).
Defino a função contínua correspondente
Passo 5
Verificar que
é decrescente para
. Calculamos a derivada (vou mostrar passo a passo):
Derivando (produto e cadeia):
Fatorando
e simplificando:
Para
temos
e
, portanto
para
. Conclusão:
é positiva e decrescente em
, condição do teste satisfeita.
Passo 6
Aplicar o Teste da Integral. Calculamos a integral imprópria
Faço a substituição natural
, então
,
. Os limites: quando
tem
; quando
tem
. Substituindo:
Essa integral é fácil:
que é finita. Portanto, pela equivalência do Teste da Integral, a série
converge.
Passo 7
Interpretando o resultado e respondendo as alternativas:
- A série converge (não diverge para
). - Como todos os termos são positivos, a soma limite é um número real não negativo; mas como há termos positivos, a soma não pode ser zero — é estritamente positiva.
Logo a soma converge para um número real positivo.
Resposta
(f)