Com respeito à série \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{e^{-\sqrt{n}}}{2 \sqrt{n}} podemos dizer que:
(a) Esta série diverge para +\infty.
(b) Esta série diverge para -\infty.
(c) Esta série converge para um número real negativo.
(d) Nenhuma das outras alternativas é verdadeira.
(e) Esta série converge para zero.
(f) Esta série converge para um número real positivo.

Passo 1

O enunciado dá a série
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{e^{-\sqrt{n}}}{2\sqrt{n}}
e pede que se escolha entre as alternativas (a)–(f). Vou listar o que nos foi dado e o que se pergunta, sem resolver ainda:
  • Dado: a sequência de termos a_n=\dfrac{e^{-\sqrt{n}}}{2\sqrt{n}} para n=1,2,\dots.
  • Pergunta: a série \sum_{n=1}^{\infty} a_n diverge para +\infty, diverge para -\infty, converge para número real negativo, converge para zero, converge para número real positivo, ou nenhuma das anteriores? (as opções (a)–(f) correspondem a essas afirmações).

Passo 2

Primeira observação útil (muito simples e importante): cada termo é positivo. Explicitamente,
a_n=\frac{e^{-\sqrt{n}}}{2\sqrt{n}}>0\quad\text{para todo }n\ge1,
porque e^{-\sqrt{n}}>0 e 2\sqrt{n}>0. Portanto:
  • A soma parcial é sempre não negativa e não pode tender a um número negativo.
  • A série não pode divergir para -\infty.
    Isto elimina imediatamente a alternativa (b) e qualquer alternativa que afirme soma negativa.

Passo 3

Condição necessária para convergência: os termos devem tender a zero. Vamos checar:
fazendo t=\sqrt{n} (ou raciocinar diretamente), temos
\lim_{n\to\infty} \frac{e^{-\sqrt{n}}}{2\sqrt{n}} = \lim_{t\to\infty} \frac{e^{-t}}{2t} = 0,
pois e^{-t} tende a zero muito mais rápido que t cresce. Então a condição necessária é satisfeita. Atenção: isso não garante convergência da série, só diz que não é imediatamente impossível.

Passo 4

Escolha do método: como os termos são positivos e a expressão tem forma contínua razoável quando n é visto como uma variável real x, o Teste da Integral (teste integral) é uma boa ferramenta — é simples e direto aqui. Vou usar o Teste da Integral de Cauchy (ou critério da integral):
  • Se f(x) é positiva, contínua e decrescente para x\ge1, então a série \sum_{n=1}^\infty f(n) converge se, e somente se, a integral \int_{1}^{\infty} f(x)\,dx converge (é finita).
Defino a função contínua correspondente
f(x)=\frac{e^{-\sqrt{x}}}{2\sqrt{x}},\qquad x\ge1.

Passo 5

Verificar que f é decrescente para x\ge1. Calculamos a derivada (vou mostrar passo a passo):
f(x)=\frac{1}{2}x^{-1/2}e^{-x^{1/2}}.
Derivando (produto e cadeia):
f'(x)=\frac{1}{2}\Big( -\tfrac{1}{2}x^{-3/2}e^{-x^{1/2}} + x^{-1/2}e^{-x^{1/2}}\cdot\big(-\tfrac{1}{2}x^{-1/2}\big)\Big).
Fatorando e^{-x^{1/2}} e simplificando:
f'(x)=-\frac{1}{4}e^{-x^{1/2}}\big(x^{-3/2}+x^{-1}\big).
Para x\ge1 temos x^{-3/2}+x^{-1}>0 e e^{-x^{1/2}}>0, portanto f'(x)<0 para x\ge1. Conclusão: f é positiva e decrescente em [1,\infty), condição do teste satisfeita.

Passo 6

Aplicar o Teste da Integral. Calculamos a integral imprópria
\int_{1}^{\infty} f(x)\,dx = \int_{1}^{\infty} \frac{e^{-\sqrt{x}}}{2\sqrt{x}}\,dx.
Faço a substituição natural x=t^2, então t=\sqrt{x}, dx=2t\,dt. Os limites: quando x=1 tem t=1; quando x\to\infty tem t\to\infty. Substituindo:
\int_{1}^{\infty} \frac{e^{-\sqrt{x}}}{2\sqrt{x}}\,dx = \int_{1}^{\infty} \frac{e^{-t}}{2t}\cdot 2t\,dt = \int_{1}^{\infty} e^{-t}\,dt.
Essa integral é fácil:
\int_{1}^{\infty} e^{-t}\,dt = \big[-e^{-t}\big]_{1}^{\infty} = 0 - (-e^{-1}) = e^{-1},
que é finita. Portanto, pela equivalência do Teste da Integral, a série \sum_{n=1}^\infty \dfrac{e^{-\sqrt{n}}}{2\sqrt{n}} converge.

Passo 7

Interpretando o resultado e respondendo as alternativas:
  • A série converge (não diverge para +\infty).
  • Como todos os termos são positivos, a soma limite é um número real não negativo; mas como há termos positivos, a soma não pode ser zero — é estritamente positiva.
    Logo a soma converge para um número real positivo.

Resposta

(f)

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