Segundo o Critério de Leibniz, qual é a quantidade mínima de termos da série
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1}}{\sqrt{n}}
que precisamos somar para encontrar uma aproximação da soma da série com erro menor ou igual a 10^{-1} ?
(a) 98
(b) 101
(c) 100
(d) 102
(e) 95
(f) 96
(g) 99
(h) 97

Passo 1

O enunciado nos dá a série alternada
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n-1}}{\sqrt{n}}
e pergunta qual é a quantidade mínima de termos que precisamos somar para obter uma aproximação da soma da série com erro menor ou igual a \,10^{-1}\, (isto é, \,0,1\,). As alternativas oferecidas são: (a) 98, (b) 101, (c) 100, (d) 102, (e) 95, (f) 96, (g) 99, (h) 97.

Passo 2

Vou recordar e explicar o Critério de Leibniz (de forma prática, do jeitinho que cai na prova).
  • Considere uma série alternada de termos (-1)^{n-1}a_n com a_n>0.
  • Se:
    1. a_{n+1}\le a_n para todo n grande (ou seja, a_n é monotonicamente decrescente em módulo), e
    2. \displaystyle \lim_{n\to\infty} a_n = 0,
      então a série converge.
      Além disso, o resto (erro) ao truncar a série após N termos, chamando o somatório parcial de S_N e a soma total de S, satisfaz
    |S-S_N|\le a_{N+1}.
Explicando em palavras: o erro ao somar os primeiros N termos é no máximo o valor do próximo termo em módulo. É isso que vamos usar para garantir que o erro seja \le 10^{-1}.

Passo 3

Verifico as hipóteses do Critério para a nossa série, tomando a_n=\dfrac{1}{\sqrt{n}}.
  • Positividade: a_n>0 para todo n.
  • Monotonicidade decrescente: para todo n\ge1, a_{n+1}=\frac{1}{\sqrt{n+1}}<\frac{1}{\sqrt{n}}=a_n,porque \sqrt{n+1}>\sqrt{n}. Logo a_n é decrescente.
  • Limite nulo: claramente \lim_{n\to\infty}\frac{1}{\sqrt{n}}=0,pois o denominador cresce sem limite.
    Portanto as condições do Critério de Leibniz valem e podemos usar a desigualdade do resto.

Passo 4

Pelo Critério de Leibniz temos o limite do erro por
|S-S_N|\le a_{N+1}=\frac{1}{\sqrt{N+1}}.
Queremos garantir que esse erro seja menor ou igual a \,10^{-1}\, (ou seja \,0,1). Então impomos
\frac{1}{\sqrt{N+1}}\le 10^{-1}.
Resolvendo essa desigualdade passo a passo:
\frac{1}{\sqrt{N+1}}\le \frac{1}{10} \quad\Longrightarrow\quad \sqrt{N+1}\ge 10 \quad\Longrightarrow\quad N+1\ge 100 \quad\Longrightarrow\quad N\ge 99.

Passo 5

A desigualdade obtida diz que precisamos de N tal que N\ge 99. Como N é um número inteiro que representa a quantidade de termos somados, o menor N inteiro que satisfaz é 99. (Ih, quase lá — agora confira na lista de alternativas qual corresponde.)

Resposta

(g) 99

Exercícios relacionados