Segundo o Critério de Leibniz, qual é a quantidade mínima de termos da série
que precisamos somar para encontrar uma aproximação da soma da série com erro menor ou igual a
?
(a) 98
(b) 101
(c) 100
(d) 102
(e) 95
(f) 96
(g) 99
(h) 97
(a) 98
(b) 101
(c) 100
(d) 102
(e) 95
(f) 96
(g) 99
(h) 97
Passo 1
O enunciado nos dá a série alternada
e pergunta qual é a quantidade mínima de termos que precisamos somar para obter uma aproximação da soma da série com erro menor ou igual a
(isto é,
). As alternativas oferecidas são: (a)
, (b)
, (c)
, (d)
, (e)
, (f)
, (g)
, (h)
.
Passo 2
Vou recordar e explicar o Critério de Leibniz (de forma prática, do jeitinho que cai na prova).
- Considere uma série alternada de termos
com . - Se:
-
para todo grande (ou seja, é monotonicamente decrescente em módulo), e -
,
então a série converge.
Além disso, o resto (erro) ao truncar a série apóstermos, chamando o somatório parcial de e a soma total de , satisfaz
-
Explicando em palavras: o erro ao somar os primeiros
termos é no máximo o valor do próximo termo em módulo. É isso que vamos usar para garantir que o erro seja
.
Passo 3
Verifico as hipóteses do Critério para a nossa série, tomando
.
- Positividade:
para todo . - Monotonicidade decrescente: para todo
, porque . Logo é decrescente. - Limite nulo: claramente
pois o denominador cresce sem limite.
Portanto as condições do Critério de Leibniz valem e podemos usar a desigualdade do resto.
Passo 4
Pelo Critério de Leibniz temos o limite do erro por
Queremos garantir que esse erro seja menor ou igual a
(ou seja
). Então impomos
Resolvendo essa desigualdade passo a passo:
Passo 5
A desigualdade obtida diz que precisamos de
tal que
. Como
é um número inteiro que representa a quantidade de termos somados, o menor
inteiro que satisfaz é
. (Ih, quase lá — agora confira na lista de alternativas qual corresponde.)
Resposta
(g) 99