Na respiração normal de adulto, em um minuto, são inalados 4,0 \mathrm{~L} de ar, medidos a 25^{\circ} \mathrm{C} e 1 atm de pressão. Um mergulhador a 43 m abaixo do nível do mar, onde a temperatura é de 25^{\circ} \mathrm{C} e a pressão de 5 atm, receberá a mesma massa de oxigênio se inalar quantos litros de ar?

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e faz a seguinte pergunta:
  • Em um minuto, na respiração normal de adulto, são inalados \;4,0\\ \mathrm{L} de ar medidos a \;25^\circ\mathrm{C} e \;1\\ \mathrm{atm}.
  • A 43\\ \mathrm{m} abaixo do nível do mar a temperatura é \;25^\circ\mathrm{C} e a pressão é \;5\\ \mathrm{atm}.
  • Pergunta: o mergulhador a 43\\ \mathrm{m} precisará inalar quantos litros de ar (medidos nessa condição de 25^\circ\mathrm{C} e 5\\ \mathrm{atm}) para receber a mesma massa de oxigênio que vem com \;4,0\\ \mathrm{L} ao nível do mar?
Informações relevantes listadas:
  • Volume ao nível do mar: \;V_1 = 4,0\\ \mathrm{L}.
  • Temperatura inicial e final: \;T_1 = T_2 = 25^\circ\mathrm{C} (ou seja, temperaturas iguais).
  • Pressão ao nível do mar: \;P_1 = 1\\ \mathrm{atm}.
  • Pressão a 43\\ \mathrm{m}: \;P_2 = 5\\ \mathrm{atm}.
  • Assunção implícita (importante): a composição do ar não muda com a profundidade (fração de oxigênio é a mesma), logo “mesma massa de oxigênio” corresponde a “mesma quantidade de mols de oxigênio”.

Passo 2

Definição do que vamos usar (estratégia sem calcular ainda):
  • Para comparar massas de oxigênio recebidas em duas condições, é suficiente igualar o número de mols de oxigênio inalatados nas duas situações, porque massa \;=\; n \times M (onde n é número de mols e M massa molar do oxigênio). Se a fração de O _2 do ar é a mesma, igual número de mols de ar implica igual número de mols de O _2 inalados proporcionalmente.
  • Para relacionar volume, pressão e temperatura de um gás ideal usamos a Lei dos Gases Ideais ou a forma proporcional \dfrac{P V}{T} = \text{constante} quando a quantidade de substância e a constante dos gases são consideradas.
  • Como a temperatura é a mesma nas duas situações, a relação entre volume e pressão simplifica bastante.

Passo 3

Aula curta e didática sobre a Lei dos Gases Ideais:
  • A Lei dos Gases Ideais é escrita como
PV = nRT
onde:
  • P é a pressão do gás (em qualquer unidade consistente, aqui usamos \mathrm{atm}),
  • V é o volume do gás (aqui em \mathrm{L}),
  • n é o número de mols,
  • R é a constante universal dos gases (se usarmos P em \mathrm{atm} e V em \mathrm{L}, então R \approx 0,08206\\ \mathrm{L\cdot atm\cdot mol^{-1}\cdot K^{-1}}),
  • T é a temperatura em kelvin ( \mathrm{K}).
  • Reorganizando, o número de mols é
n=\frac{PV}{RT}.
  • Se queremos comparar duas condições 1 e 2 para a mesma quantidade de substância de gás (mesma n de ar inalado que contém a mesma fração de O _2), podemos escrever
\frac{P_1 V_1}{T_1}=\frac{P_2 V_2}{T_2}.
  • Observação: se T_1=T_2, a fórmula simplifica para P_1 V_1 = P_2 V_2. Isso significa: a pressão é inversamente proporcional ao volume quando a temperatura e a quantidade de mols são fixas (princípio de Boyle, caso simples do gás ideal).

Passo 4

Aplicando a relação ao problema:
  • Como no enunciado temos \;T_1 = T_2 = 25^\circ\mathrm{C}, convertemos mentalmente para kelvin se fosse necessário, mas aqui como as temperaturas são iguais elas se cancelam na razão, então não precisamos do valor numérico em kelvin.
  • Igualando número de mols de ar (ou proporcionalmente de O _2):
P_1 V_1 = P_2 V_2.
  • Despejando V_2:
V_2 = V_1 \frac{P_1}{P_2}.

Passo 5

Substituindo os valores numéricos e calculando passo a passo:
  • Temos \;V_1 = 4,0\\ \mathrm{L}, \;P_1 = 1\\ \mathrm{atm} e \;P_2 = 5\\ \mathrm{atm}. Então
V_2 = 4,0\\ \mathrm{L}\times\frac{1\\ \mathrm{atm}}{5\\ \mathrm{atm}}.
  • As unidades de pressão se cancelam, sobrando litros. Agora a conta:
\frac{1}{5} = 0,2,
então
V_2 = 4,0\times 0,2\\ \mathrm{L} = 0,8\\ \mathrm{L}.

Passo 6

Interpretação e checagem rápida (para você não se atrapalhar na prova):
  • Intuição: na profundidade a pressão é 5 vezes maior, então o mesmo número de mols ocupa 5 vezes menos volume — faz sentido que o volume a ser inalado seja \tfrac{1}{5} do volume ao nível do mar.
  • Conferindo unidades e suposições: usamos \mathrm{atm} e \mathrm{L} que são consistentes; assumimos que a fração de oxigênio no ar não muda com a profundidade (válido), e que o ar se comporta como gás ideal (aproximação ótima para ar nessas condições). Tudo correto para a questão típica de prova.

Resposta

\;0,8\\ \mathrm{L}

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