Responda se é convergente ou divergente as seguintes integrais impróprias, e justifique.
\int_{0}^{+\infty} \frac{\arctan x}{x^{2}+1} d x

Passo 1

O enunciado pede para decidir se a integral imprópria
\int_{0}^{+\infty} \frac{\arctan x}{x^{2}+1}\,dx
é convergente ou divergente, e justificar.
Informações dadas e observações imediatas:
  • O intervalo de integração é [0,+\infty), logo há impropriedade por causa do limite superior infinito.
  • A função integranda é \dfrac{\arctan x}{x^{2}+1}, definida e contínua em (0,+\infty). Deve-se também verificar o comportamento em x=0 (endereço do intervalo) e quando x\to+\infty.
  • A função \arctan x é não negativa em [0,+\infty) e limitada por \dfrac{\pi}{2}.

Passo 2

Análise do comportamento em x\to0^{+}.
Explicar a ideia: para ver se a integral diverge por causa de 0, é suficiente comparar a integranda com uma função simples cujo comportamento próximo a 0 conhecemos. Uma aproximação útil é o desenvolvimento de Taylor de \arctan x em 0:
\arctan x = x + o(x)\quad\text{quando }x\to0.
Isto significa que, para x pequeno, \arctan x é aproximadamente x. Em linguagem de comparação, para x\in(0,1) vale a desigualdade clássica
0\le \arctan x \le x.
Como x^{2}+1\ge 1 para todo x, para x\in(0,1) temos
0\le \frac{\arctan x}{x^{2}+1} \le \arctan x \le x.
Como a função x é integrável no intervalo (0,1) (a integral de x é finita), a comparação mostra que não há divergência na extremidade 0.

Passo 3

Conclusão sobre x=0.
Pelo argumento anterior, a integral é propriamente definida perto de 0; em termos práticos,
\int_{0}^{1}\frac{\arctan x}{x^{2}+1}\,dx
é convergente porque está limitada acima por \int_{0}^{1} x\,dx, que é finita. Assim, a possível impropriedade em 0 não causa divergência.

Passo 4

Análise do comportamento quando x\to+\infty.
Explicar a ideia: para a cauda x grande convém comparar com uma função do tipo 1/x^{p}. Sabendo que
\lim_{x\to+\infty}\arctan x = \frac{\pi}{2},
esperamos que, para x grande,
\frac{\arctan x}{x^{2}+1}\approx \frac{\pi/2}{x^{2}}.
A integral de 1/x^{2} em [1,+\infty) converge (é um p-integral com p=2>1), então é plausível que a integral dada também convirja na cauda. Vamos transformar isso em um teste de comparação limítrofe (teste da comparação limite).

Passo 5

Aplicação do teste da comparação limite para x\to+\infty.
Considere as funções positivas
f(x)=\frac{\arctan x}{x^{2}+1}\quad\text{e}\quad g(x)=\frac{1}{x^{2}}.
Calcule o limite
\lim_{x\to+\infty}\frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x\to+\infty} x^{2}\cdot\frac{\arctan x}{x^{2}+1}.
Para x\to+\infty tem-se x^{2}/(x^{2}+1)\to 1 e \arctan x\to \dfrac{\pi}{2}, portanto o limite é
\lim_{x\to+\infty}\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{\pi}{2}\cdot 1=\frac{\pi}{2}\in(0,+\infty).
Pelo teste da comparação limite, como \int_{1}^{+\infty} g(x)\,dx=\int_{1}^{+\infty}\dfrac{1}{x^{2}}\,dx converge, então também converge \int_{1}^{+\infty} f(x)\,dx.

Passo 6

Conclusão sobre a convergência da integral total.
Tendo mostrado que tanto a parte próxima a 0 quanto a cauda em +\infty são integráveis, concluímos que a integral imprópria no todo converge. Como a integranda é não negativa, essa convergência é também convergência absoluta por trivialidade (não há sinal alternante).

Passo 7

Cálculo do valor exato (trUque simples e muito útil na prova).
Para além da convergência, há uma substituição direta que transforma a integral numa integral elementar. Faça u=\arctan x. Então
du=\frac{1}{x^{2}+1}\,dx.
Quando x=0 tem u=0 e quando x\to+\infty tem u\to \dfrac{\pi}{2}. A integral fica
\int_{0}^{+\infty}\frac{\arctan x}{x^{2}+1}\,dx = \int_{0}^{\pi/2} u\,du.
Esta é uma integral elementar cuja primitiva é u^{2}/2, logo
\int_{0}^{\pi/2} u\,du = \left.\frac{u^{2}}{2}\right|_{0}^{\pi/2} = \frac{1}{2}\left(\frac{\pi}{2}\right)^{2}=\frac{\pi^{2}}{8}.
Isso confirma a convergência e fornece o valor exato.

Resposta

Convergente; \displaystyle \int_{0}^{+\infty}\frac{\arctan x}{x^{2}+1}\,dx=\frac{\pi^{2}}{8}

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