(A.50) Desenhar um diagrama de Venn representando quatro conjuntos
e
não vazios de modo que se tenha
Passo 1
O enunciado pede que se construa um diagrama de Venn com quatro conjuntos não vazios
de forma que sejam satisfeitas as quatro condições:
-
, -
, -
, -
.
Vou listar claramente o que precisamos garantir com o desenho:
- Existir pelo menos um elemento em
que não esteja em (para garantir ). - Existir pelo menos um elemento em
que não esteja em (para garantir ). - O conjunto
deve ficar inteiramente contido na união (ou seja, nenhum ponto de pode estar fora de ). - O conjunto
deve ficar inteiramente contido na interseção (ou seja, todo ponto de está simultaneamente em e em ). - Além disso, todos os conjuntos
devem ser não vazios, então preciso colocar pelo menos um elemento em cada um.
Passo 2
Rápida explicação dos conceitos (sem pular etapas):
-
significa que "todo elemento de é também elemento de ". Para mostrar que basta encontrar um elemento que pertença a e não pertença a ; formalmente, existe tal que e . -
é a união: é o conjunto de pontos que estão em ou em (ou em ambos). -
é a interseção: conjunto dos pontos que estão simultaneamente em e em . - Num diagrama de Venn com círculos, colocar um círculo inteiro dentro de outro representa a relação de subconjunto; colocar um círculo totalmente dentro da região de interseção de dois círculos representa subconjunto da interseção.
Passo 3
Escolha do esqueleto do diagrama:
- Desenhe dois círculos que se sobrepõem: rotule-os
e . A sobreposição cria três tipos de regiões relevantes entre e : - a região
(parte de que não toca ), - a região
(sobreposição), - a região
(parte de que não toca ).
Esse é o arranjo básico que permite mostrar quee colocando pontos nas regiões exclusivas.
- a região
Passo 4
Garantir
e
e não-vazios de
e
:
- Coloque um ponto (ou marque um pequeno elemento) na região
. Denote-o por, por exemplo, e escreva . Isso prova que porque existe com . - Coloque outro ponto na região
. Denote-o por e escreva . Isso prova que . - Com esses dois pontos já temos
e .
Passo 5
Colocar o conjunto
de modo que
:
- Desenhe um terceiro círculo (ou elipse) rotulado
inteiramente contido na região de sobreposição . Ou seja, o círculo de deve ficar dentro da área comum aos círculos e . - Para garantir que
não seja vazio, marque um ponto dentro desse círculo e chame-o de , com . Como todo ponto de está dentro da interseção física dos círculos e , isto garante (todo elemento de está em e em ) e .
Passo 6
Colocar o conjunto
de modo que
:
- Desenhe um quarto círculo rotulado
de modo que ele esteja inteiramente dentro da região . Existem duas opções simples e válidas: - Colocar
inteiramente dentro de (então ), ou - Colocar
atravessando partes de e mas sem sair da união (por exemplo, com parte de em e parte em ou em ), desde que nenhuma parte de fique fora dos dois círculos.
- Colocar
- Para simplicidade do desenho, pode-se desenhar
inteiramente dentro de ou fazendo sobrepor as duas regiões e mas sempre contida na área total ocupada por e . - Marque um ponto dentro de
, chame-o de e escreva , garantindo . Como o círculo está todo dentro da área de , fica garantido .
Passo 7
Verificação de todas as condições no diagrama construído:
- Existe
(marcado) ⇒ . - Existe
(marcado) ⇒ . - O círculo
está inteiramente dentro da região e contém ⇒ e . - O círculo
está inteiramente dentro da região e contém ⇒ e . - Assim os quatro conjuntos
são não vazios e satisfazem exatamente as relações pedidas.
Passo 8
Dica prática para desenhar no papel (passo-a-passo para a prova, sem calculadora óbvio):
- Desenhe dois círculos grandes que se intersectam; rotule-os
e . - Marque um ponto na parte exclusiva de
e outro ponto na parte exclusiva de . - Dentro da região de interseção dos dois círculos, desenhe um pequeno círculo e rotule-o
; marque um ponto dentro dele. - Dentro da área total coberta pelos dois primeiros círculos (mas fora de qualquer região externa), desenhe outro pequeno círculo e rotule-o
; marque um ponto dentro dele. Certifique‑se de que o círculo não coloque nenhuma parte fora de . - Confira as etiquetas dos pontos:
, , , .
Resposta
Desenhar dois círculos
e
que se sobrepõem; colocar um ponto em
e outro em
; desenhar o círculo
inteiramente dentro de
e marcar um ponto
; desenhar o círculo
inteiramente dentro da área
e marcar um ponto
.