(A.50) Desenhar um diagrama de Venn representando quatro conjuntos A, B, C e D não vazios de modo que se tenha
A \not \subset B, \quad B \not \subset A, \quad C \subset A \cup B \quad \text { e } \quad D \subset(A \cap B) .

Passo 1

O enunciado pede que se construa um diagrama de Venn com quatro conjuntos não vazios A,B,C,D de forma que sejam satisfeitas as quatro condições:
  • A \not\subset B,
  • B \not\subset A,
  • C \subset A\cup B,
  • D \subset (A\cap B).
Vou listar claramente o que precisamos garantir com o desenho:
  • Existir pelo menos um elemento em A que não esteja em B (para garantir A \not\subset B).
  • Existir pelo menos um elemento em B que não esteja em A (para garantir B \not\subset A).
  • O conjunto C deve ficar inteiramente contido na união A\cup B (ou seja, nenhum ponto de C pode estar fora de A\cup B).
  • O conjunto D deve ficar inteiramente contido na interseção A\cap B (ou seja, todo ponto de D está simultaneamente em A e em B).
  • Além disso, todos os conjuntos A,B,C,D devem ser não vazios, então preciso colocar pelo menos um elemento em cada um.

Passo 2

Rápida explicação dos conceitos (sem pular etapas):
  • X\subset Y significa que "todo elemento de X é também elemento de Y". Para mostrar que X\not\subset Y basta encontrar um elemento que pertença a X e não pertença a Y; formalmente, existe x tal que x\in X e x\notin Y.
  • X\cup Y é a união: é o conjunto de pontos que estão em X ou em Y (ou em ambos).
  • X\cap Y é a interseção: conjunto dos pontos que estão simultaneamente em X e em Y.
  • Num diagrama de Venn com círculos, colocar um círculo inteiro dentro de outro representa a relação de subconjunto; colocar um círculo totalmente dentro da região de interseção de dois círculos representa subconjunto da interseção.

Passo 3

Escolha do esqueleto do diagrama:
  • Desenhe dois círculos que se sobrepõem: rotule-os A e B. A sobreposição cria três tipos de regiões relevantes entre A e B:
    • a região A\setminus B (parte de A que não toca B),
    • a região A\cap B (sobreposição),
    • a região B\setminus A (parte de B que não toca A).
      Esse é o arranjo básico que permite mostrar que A\not\subset B e B\not\subset A colocando pontos nas regiões exclusivas.

Passo 4

Garantir A\not\subset B e B\not\subset A e não-vazios de A e B:
  • Coloque um ponto (ou marque um pequeno elemento) na região A\setminus B. Denote-o por, por exemplo, x e escreva x\in A\setminus B. Isso prova que A\not\subset B porque existe x\in A com x\notin B.
  • Coloque outro ponto na região B\setminus A. Denote-o por y e escreva y\in B\setminus A. Isso prova que B\not\subset A.
  • Com esses dois pontos já temos A\neq\varnothing e B\neq\varnothing.

Passo 5

Colocar o conjunto D de modo que D\subset(A\cap B):
  • Desenhe um terceiro círculo (ou elipse) rotulado D inteiramente contido na região de sobreposição A\cap B. Ou seja, o círculo de D deve ficar dentro da área comum aos círculos A e B.
  • Para garantir que D não seja vazio, marque um ponto dentro desse círculo e chame-o de z, com z\in D. Como todo ponto de D está dentro da interseção física dos círculos A e B, isto garante D\subset(A\cap B) (todo elemento de D está em A e em B) e D\neq\varnothing.

Passo 6

Colocar o conjunto C de modo que C\subset A\cup B:
  • Desenhe um quarto círculo rotulado C de modo que ele esteja inteiramente dentro da região A\cup B. Existem duas opções simples e válidas:
    • Colocar C inteiramente dentro de A (então C\subset A\subset A\cup B), ou
    • Colocar C atravessando partes de A e B mas sem sair da união (por exemplo, com parte de C em A\setminus B e parte em A\cap B ou em B\setminus A), desde que nenhuma parte de C fique fora dos dois círculos.
  • Para simplicidade do desenho, pode-se desenhar C inteiramente dentro de A ou fazendo C sobrepor as duas regiões A e B mas sempre contida na área total ocupada por A e B.
  • Marque um ponto dentro de C, chame-o de w e escreva w\in C, garantindo C\neq\varnothing. Como o círculo C está todo dentro da área de A\cup B, fica garantido C\subset A\cup B.

Passo 7

Verificação de todas as condições no diagrama construído:
  • Existe x\in A\setminus B (marcado) ⇒ A\not\subset B.
  • Existe y\in B\setminus A (marcado) ⇒ B\not\subset A.
  • O círculo D está inteiramente dentro da região A\cap B e contém z D\subset(A\cap B) e D\neq\varnothing.
  • O círculo C está inteiramente dentro da região A\cup B e contém w C\subset A\cup B e C\neq\varnothing.
  • Assim os quatro conjuntos A,B,C,D são não vazios e satisfazem exatamente as relações pedidas.

Passo 8

Dica prática para desenhar no papel (passo-a-passo para a prova, sem calculadora óbvio):
  1. Desenhe dois círculos grandes que se intersectam; rotule-os A e B.
  2. Marque um ponto na parte exclusiva de A e outro ponto na parte exclusiva de B.
  3. Dentro da região de interseção dos dois círculos, desenhe um pequeno círculo e rotule-o D; marque um ponto dentro dele.
  4. Dentro da área total coberta pelos dois primeiros círculos (mas fora de qualquer região externa), desenhe outro pequeno círculo e rotule-o C; marque um ponto dentro dele. Certifique‑se de que o círculo C não coloque nenhuma parte fora de A\cup B.
  5. Confira as etiquetas dos pontos: x\in A\setminus B, y\in B\setminus A, z\in D\subset A\cap B, w\in C\subset A\cup B.

Resposta

Desenhar dois círculos A e B que se sobrepõem; colocar um ponto em A\setminus B e outro em B\setminus A; desenhar o círculo D inteiramente dentro de A\cap B e marcar um ponto z\in D; desenhar o círculo C inteiramente dentro da área A\cup B e marcar um ponto w\in C.

Exercícios relacionados