Responda corretamente os itens a seguir.
Calcule
.
Calcule
Passo 1
O enunciado pede para calcular a seguinte expressão de limite que envolve uma integral média, típico de cálculo de limites de funções definidas por integrais:
Conteúdo: limites, séries de Taylor e propriedades de logaritmo e exponencial.
Precisaremos expandir a função dentro do integrando para pequenos valores de t e depois integrar o polinômio resultante.
Conteúdo: limites, séries de Taylor e propriedades de logaritmo e exponencial.
Precisaremos expandir a função dentro do integrando para pequenos valores de t e depois integrar o polinômio resultante.
Passo 2
Para t próximo de zero, usamos a expansão em série de Taylor de :
Passo 3
Em seguida, escrevemos o logaritmo do termo base do nosso integrando:
Expandindo
com
, obtemos até ordem
:
Passo 4
Como o integrando é , dividimos a expansão do logaritmo por t:
Logo,
Passo 5
Agora aproximamos a integral usando a expansão de :
Dividindo por
e fazendo
fica:
Resposta
e^{-2}