Responda corretamente os itens a seguir.
Calcule lim x 0 1x integral0^x(1-tg 2 t)^1t d t.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a seguinte expressão de limite que envolve uma integral média, típico de cálculo de limites de funções definidas por integrais:
Conteúdo: limites, séries de Taylor e propriedades de logaritmo e exponencial.
Precisaremos expandir a função dentro do integrando para pequenos valores de t e depois integrar o polinômio resultante.

Passo 2

Para t próximo de zero, usamos a expansão em série de Taylor de :

Passo 3

Em seguida, escrevemos o logaritmo do termo base do nosso integrando:
Expandindo lnl(1-tg(2t)r)=lnl(1-(2t+tfrac83t^3+O(t^5))r) com ln(1-u)=-u-tfracu^22-tfracu^33+O(u^4), obtemos até ordem u=2t+tfrac83t^3+O(t^5):

Passo 4

Como o integrando é , dividimos a expansão do logaritmo por t:
Logo,

Passo 5

Agora aproximamos a integral usando a expansão de :
f(t)=(1-tg(2t))^1/t
Dividindo por integral0^x f(t),dt=integral0^x e^-2(1-2t+O(t^2)),dt=e^-2l[t-t^2+O(t^3)r]0^x=e^-2(x-x^2+O(x^3)) e fazendo x fica:
xto0

Resposta

e^{-2}

Exercícios relacionados