Encontre as frações parciais de:
Passo 1
O enunciado pede para decompor em frações parciais a função racional
. Esse é um exercício de decomposição em frações parciais e vamos usar a técnica de escrever a fração como soma de termos cujos denominadores são os fatores do polinômio original.
Passo 2
Como o denominador é o produto de um fator linear repetido
e um fator quadrático irreduzível
, o modelo geral de decomposição é
Passo 3
Multiplicamos ambos os lados por
para eliminar denominadores e criar uma identidade em polinômios:
Passo 4
Expandimos o lado direito e agrupamos termos segundo potências de
:
Agrupando por grau, obtemos
Passo 5
Comparando com o polinômio do lado esquerdo
, montamos o sistema de coeficientes:
Passo 6
Resolvendo o sistema:
- De
vemB=0 .B=0 - De
segueB+E=0 .E=0 - Como
, da equaçãoC=1 temosA+C=-5 .A=-6 - Finalmente, de
obtemosA+D=0 .D=6
Passo 7
Substituindo os valores achados, a decomposição fica
Eliminando o termo com coeficiente nulo, chega-se ao resultado final:
Resposta
-\frac{6}{x} + \frac{1}{x^3} + \frac{6x}{x^2+1}