Encontre as frações parciais de:
1-5 x^2x^3(x^2+1)

Passo 1

O enunciado pede para decompor em frações parciais a função racional 1-5x^2x^3(x^2+1). Esse é um exercício de decomposição em frações parciais e vamos usar a técnica de escrever a fração como soma de termos cujos denominadores são os fatores do polinômio original.

Passo 2

Como o denominador é o produto de um fator linear repetido x^3 e um fator quadrático irreduzível x^2+1, o modelo geral de decomposição é
1-5x^2x^3(x^2+1) = Ax + Bx^2 + Cx^3 + Dx+Ex^2+1

Passo 3

Multiplicamos ambos os lados por x^3(x^2+1) para eliminar denominadores e criar uma identidade em polinômios:
1-5x^2 = A,x^2(x^2+1) + B,x(x^2+1) + C,(x^2+1) + (Dx+E),x^3

Passo 4

Expandimos o lado direito e agrupamos termos segundo potências de x:
A x^4 + A x^2 + B x^3 + B x + C x^2 + C + D x^4 + E x^3
Agrupando por grau, obtemos
(A+D)x^4 + (B+E)x^3 + (A+C)x^2 + Bx + C

Passo 5

Comparando com o polinômio do lado esquerdo 1 - 5x^2 = 0x^4 + 0x^3 -5x^2 +0x +1, montamos o sistema de coeficientes:
A + D = 0, B + E = 0, A + C = -5, B = 0, C = 1

Passo 6

Resolvendo o sistema:
  • De B=0 vem B=0.
  • De B+E=0 segue E=0.
  • Como C=1, da equação A+C=-5 temos A=-6.
  • Finalmente, de A+D=0 obtemos D=6.

Passo 7

Substituindo os valores achados, a decomposição fica
1-5x^2x^3(x^2+1) = -6x + 0x^2 + 1x^3 + 6xx^2+1
Eliminando o termo com coeficiente nulo, chega-se ao resultado final:
1-5x^2x^3(x^2+1) = -6x + 1x^3 + 6xx^2+1

Resposta

-\frac{6}{x} + \frac{1}{x^3} + \frac{6x}{x^2+1}

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