Responda detalhadamente as questões a seguir.
Defina o centro de massa de um conjunto de 5 partículas de massa
, nas respectivas posições
.
Defina o centro de massa de um conjunto de 5 partículas de massa
Passo 1
O enunciado pede que se defina o centro de massa de um conjunto de cinco partículas. As informações fornecidas são:
- As cinco massas são
. - As posições correspondentes são os vetores
.
O objetivo é dar a definição matemática do centro de massa usando esses dados.
Passo 2
Intuição rápida antes da fórmula (para você não se assustar): o centro de massa é um ponto que representa “o lugar médio” do sistema quando cada partícula contribui proporcionalmente à sua massa. Partículas maiores puxam o centro de massa mais para perto delas; partículas pequenas quase não mexem no ponto. Essa ideia vai virar uma média ponderada na fórmula.
Passo 3
Definição do total de massa (etapa necessária): primeiro define-se a massa total do sistema como a soma das cinco massas. Escrevemos isso assim:
Aqui
é um número escalar positivo (assumindo massas positivas).
Passo 4
Fórmula vetorial do centro de massa: a definição matemática é uma média ponderada das posições por suas massas. Em forma vetorial:
Explicando cada símbolo:
-
é o vetor posição do centro de massa (ou seja, o ponto que estamos definindo). -
é a massa total definida no passo anterior. -
significa .
Passo 5
Forma componente a componente (prático para cálculo em prova): se cada vetor posição
tem componentes
então
com
Se o problema for plano (
D), basta usar as duas primeiras fórmulas para
e
.
Passo 6
Como calcular passo a passo (receita de prova):
- Calcule
. - Calcule as somas ponderadas
, e, se necessário, . - Divida:
, , . - Escreva
ou use a forma vetorial .
Passo 7
Exemplo numérico simples (para fixar): suponha massas
e posições
.
-
-
-
-
- Logo
. Isso mostra concretamente como aplicar as fórmulas.
Passo 8
Propriedades úteis para a prova (pequenas dicas):
- Se todas as massas são iguais,
vira a média aritmética: . - Invariância por translação: se todas as posições são deslocadas por um mesmo vetor
, então desloca-se também por . - Relação com momento linear: a velocidade do centro de massa satisfaz
, que frequentemente aparece em enunciados de dinâmica.
Passo 9
Resumo prático para a prova (último empurrãozinho): quando pedirem centro de massa escreva direto a fórmula vetorial
, explique o que é
, e calcule componente a componente se precisarem de coordenadas numéricas. Você consegue — siga a receita do passo 6 e pronto!