Responda detalhadamente as questões a seguir.
Defina o centro de massa de um conjunto de 5 partículas de massa m_{1}, m_{2}, \ldots, m_{5}, nas respectivas posições \vec{r}_{1}, \vec{r}_{2}, \ldots, \vec{r}_{5}.

Passo 1

O enunciado pede que se defina o centro de massa de um conjunto de cinco partículas. As informações fornecidas são:
  • As cinco massas são m_{1}, m_{2}, m_{3}, m_{4}, m_{5}.
  • As posições correspondentes são os vetores \vec{r}_{1}, \vec{r}_{2}, \vec{r}_{3}, \vec{r}_{4}, \vec{r}_{5}.
    O objetivo é dar a definição matemática do centro de massa usando esses dados.

Passo 2

Intuição rápida antes da fórmula (para você não se assustar): o centro de massa é um ponto que representa “o lugar médio” do sistema quando cada partícula contribui proporcionalmente à sua massa. Partículas maiores puxam o centro de massa mais para perto delas; partículas pequenas quase não mexem no ponto. Essa ideia vai virar uma média ponderada na fórmula.

Passo 3

Definição do total de massa (etapa necessária): primeiro define-se a massa total do sistema como a soma das cinco massas. Escrevemos isso assim:
M = m_{1} + m_{2} + m_{3} + m_{4} + m_{5}.
Aqui M é um número escalar positivo (assumindo massas positivas).

Passo 4

Fórmula vetorial do centro de massa: a definição matemática é uma média ponderada das posições por suas massas. Em forma vetorial:
\vec{R}=\frac{1}{M}\sum_{i=1}^{5} m_{i}\,\vec{r}_{i}.
Explicando cada símbolo:
  • \vec{R} é o vetor posição do centro de massa (ou seja, o ponto que estamos definindo).
  • M é a massa total definida no passo anterior.
  • \sum_{i=1}^{5} m_{i}\,\vec{r}_{i} significa m_{1}\vec{r}_{1}+m_{2}\vec{r}_{2}+m_{3}\vec{r}_{3}+m_{4}\vec{r}_{4}+m_{5}\vec{r}_{5}.

Passo 5

Forma componente a componente (prático para cálculo em prova): se cada vetor posição \vec{r}_{i} tem componentes (x_{i},y_{i},z_{i}) então \vec{R}=(X,Y,Z) com
X=\frac{1}{M}\sum_{i=1}^{5} m_{i}x_{i},\qquad Y=\frac{1}{M}\sum_{i=1}^{5} m_{i}y_{i},\qquad Z=\frac{1}{M}\sum_{i=1}^{5} m_{i}z_{i}.
Se o problema for plano ( 2D), basta usar as duas primeiras fórmulas para X e Y.

Passo 6

Como calcular passo a passo (receita de prova):
  1. Calcule M=\sum_{i=1}^{5} m_{i}.
  2. Calcule as somas ponderadas S_x=\sum_{i=1}^{5} m_{i}x_{i}, S_y=\sum_{i=1}^{5} m_{i}y_{i} e, se necessário, S_z=\sum_{i=1}^{5} m_{i}z_{i}.
  3. Divida: X=S_x/M, Y=S_y/M, Z=S_z/M.
  4. Escreva \vec{R}=(X,Y,Z) ou use a forma vetorial \vec{R}=\dfrac{1}{M}\sum_{i=1}^{5} m_{i}\vec{r}_{i}.

Passo 7

Exemplo numérico simples (para fixar): suponha massas \,m_{1}=1,\\ m_{2}=1,\\ m_{3}=1,\\ m_{4}=1,\\ m_{5}=1 e posições \vec{r}_{1}=(0,0,0),\\ \vec{r}_{2}=(1,0,0),\\ \vec{r}_{3}=(0,1,0),\\ \vec{r}_{4}=(1,1,0),\\ \vec{r}_{5}=(2,0,0).
  1. M=1+1+1+1+1=5.
  2. S_x=1\cdot0+1\cdot1+1\cdot0+1\cdot1+1\cdot2=4.
  3. S_y=1\cdot0+1\cdot0+1\cdot1+1\cdot1+1\cdot0=2.
  4. X=S_x/M=4/5,\\ Y=S_y/M=2/5,\\ Z=0.
  5. Logo \vec{R}=(4/5,\,2/5,\,0). Isso mostra concretamente como aplicar as fórmulas.

Passo 8

Propriedades úteis para a prova (pequenas dicas):
  • Se todas as massas são iguais, \vec{R} vira a média aritmética: \vec{R}=\dfrac{1}{5}\sum_{i=1}^{5}\vec{r}_{i}.
  • Invariância por translação: se todas as posições são deslocadas por um mesmo vetor \vec{a}, então \vec{R} desloca-se também por \vec{a}.
  • Relação com momento linear: a velocidade do centro de massa satisfaz \,M\dot{\vec{R}}=\sum_{i=1}^{5} m_{i}\dot{\vec{r}}_{i}, que frequentemente aparece em enunciados de dinâmica.

Passo 9

Resumo prático para a prova (último empurrãozinho): quando pedirem centro de massa escreva direto a fórmula vetorial \vec{R}=\dfrac{1}{M}\sum_{i=1}^{5} m_{i}\vec{r}_{i}, explique o que é M, e calcule componente a componente se precisarem de coordenadas numéricas. Você consegue — siga a receita do passo 6 e pronto!

Resposta

\vec{R}=\frac{1}{M}\sum_{i=1}^{5} m_{i}\,\vec{r}_{i},\qquad M=\sum_{i=1}^{5} m_{i}.

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