Imagine que se encontra parado num cruzamento e ouve a sirene de um carro patrulha da policia a aproximar-se. Enquanto o carro se aproxima, a frequência do som que ouve é de 560 Hz . Depois do carro passar passa a ouvir um som de 480 Hz . Qual a velocidade do carro patrulha e a frequência da sirene que seria ouvida por um observador em repouso se o carro patrulha também estivesse parado ?
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações:
- Frequência ouvida enquanto o carro se aproxima:
. - Frequência ouvida depois que o carro passou (carro a afastar-se):
. - Pede-se:
- A velocidade do carro patrulha.
- A frequência da sirene
quando o carro está em repouso (ou seja, a frequência emitida pela sirene).
- Assumo a velocidade do som no ar como
(valor típico à temperatura ambiente). Não foi dada no enunciado, então é necessário fixá-la para obter um valor numérico para a velocidade do carro.
Passo 2
Explicação física e fórmula que vamos usar (efeito Doppler para fonte em movimento e observador em repouso).
Quando a fonte sonora se move e o observador está em repouso, a frequência observada
é dada por
onde:
-
é a frequência percebida pelo observador, -
é a frequência emitida pela sirene (frequência no referencial da fonte, isto é, quando a fonte está parada), -
é a velocidade do som no meio (aqui, no ar), -
é a velocidade da fonte (o carro), - usa-se o sinal
no denominador quando a fonte se aproxima do observador (porque as cristas das ondas são “espremidas”), e usa-se o sinal quando a fonte se afasta.
Comentário rápido: a fórmula vem da ideia de que a distância entre frentes de onda medidos no ar muda quando a fonte se move; o observador estacionário recebe frentes mais próximas quando a fonte se aproxima, logo frequência maior, e frentes mais distantes quando a fonte se afasta, frequência menor.
Passo 3
Escrevendo as duas equações correspondentes às situações do enunciado:
quando o carro se aproxima:
quando o carro se afasta:
Aqui
é a velocidade do som (assumi
),
é a velocidade do carro que queremos achar e
é a frequência emitida pela sirene.
Passo 4
Eliminação de
para obter
. Dividindo a primeira equação pela segunda:
Simplificando a razão do lado esquerdo:
Portanto
Agora resolvemos essa equação para
. Multiplicando ambos os lados por
:
Distribuindo o lado esquerdo:
Juntando os termos em
num lado e os termos com
no outro:
Somando os coeficientes:
Multiplicando por
:
Logo
Passo 5
Calcular numericamente
usando
:
Arredondando adequadamente,
.
Converter para km/h (multiplicar por
):
Arredondando:
.
Passo 6
Encontrar
(frequência da sirene em repouso). Usamos uma das equações (por exemplo a da aproximação):
Isolando
:
Como da Passo 4 temos
, então
Calculando numericamente:
Arredondando:
(ou, com três algarismos significativos,
).
Resposta
Velocidade do carro:
Frequência da sirene em repouso:
Frequência da sirene em repouso: