Imagine que se encontra parado num cruzamento e ouve a sirene de um carro patrulha da policia a aproximar-se. Enquanto o carro se aproxima, a frequência do som que ouve é de 560 Hz . Depois do carro passar passa a ouvir um som de 480 Hz . Qual a velocidade do carro patrulha e a frequência da sirene que seria ouvida por um observador em repouso se o carro patrulha também estivesse parado ?

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações:
  • Frequência ouvida enquanto o carro se aproxima: 560\\ \text{Hz}.
  • Frequência ouvida depois que o carro passou (carro a afastar-se): 480\\ \text{Hz}.
  • Pede-se:
    1. A velocidade do carro patrulha.
    2. A frequência da sirene f_s quando o carro está em repouso (ou seja, a frequência emitida pela sirene).
  • Assumo a velocidade do som no ar como v=340\\ \text{m/s} (valor típico à temperatura ambiente). Não foi dada no enunciado, então é necessário fixá-la para obter um valor numérico para a velocidade do carro.

Passo 2

Explicação física e fórmula que vamos usar (efeito Doppler para fonte em movimento e observador em repouso).
Quando a fonte sonora se move e o observador está em repouso, a frequência observada f' é dada por
f' = f_s \,\frac{v}{v \mp v_s},
onde:
  • f' é a frequência percebida pelo observador,
  • f_s é a frequência emitida pela sirene (frequência no referencial da fonte, isto é, quando a fonte está parada),
  • v é a velocidade do som no meio (aqui, no ar),
  • v_s é a velocidade da fonte (o carro),
  • usa-se o sinal - no denominador quando a fonte se aproxima do observador (porque as cristas das ondas são “espremidas”), e usa-se o sinal + quando a fonte se afasta.
Comentário rápido: a fórmula vem da ideia de que a distância entre frentes de onda medidos no ar muda quando a fonte se move; o observador estacionário recebe frentes mais próximas quando a fonte se aproxima, logo frequência maior, e frentes mais distantes quando a fonte se afasta, frequência menor.

Passo 3

Escrevendo as duas equações correspondentes às situações do enunciado:
quando o carro se aproxima:
560 = f_s \,\frac{v}{v - v_s},
quando o carro se afasta:
480 = f_s \,\frac{v}{v + v_s}.
Aqui v é a velocidade do som (assumi 340\\ \text{m/s}), v_s é a velocidade do carro que queremos achar e f_s é a frequência emitida pela sirene.

Passo 4

Eliminação de f_s para obter v_s. Dividindo a primeira equação pela segunda:
\frac{560}{480} = \frac{f_s\,\dfrac{v}{v - v_s}}{f_s\,\dfrac{v}{v + v_s}} = \frac{v/(v - v_s)}{v/(v + v_s)} = \frac{v + v_s}{v - v_s}.
Simplificando a razão do lado esquerdo:
\frac{560}{480} = \frac{7}{6}.
Portanto
\frac{7}{6} = \frac{v + v_s}{v - v_s}.
Agora resolvemos essa equação para v_s. Multiplicando ambos os lados por v - v_s:
\frac{7}{6}(v - v_s) = v + v_s.
Distribuindo o lado esquerdo:
\frac{7}{6}v - \frac{7}{6}v_s = v + v_s.
Juntando os termos em v_s num lado e os termos com v no outro:
-\frac{7}{6}v_s - v_s = v - \frac{7}{6}v.
Somando os coeficientes:
-\frac{13}{6}v_s = -\frac{1}{6}v.
Multiplicando por -6:
13 v_s = v.
Logo
v_s = \frac{v}{13}.

Passo 5

Calcular numericamente v_s usando v=340\\ \text{m/s}:
v_s = \frac{340}{13}\\ \text{m/s} = 26,153846\ldots\\ \text{m/s}.
Arredondando adequadamente, v_s \approx 26,15\\ \text{m/s}.
Converter para km/h (multiplicar por 3,6):
v_s \approx 26,153846\cdot 3,6 = 94,153846\ldots\\ \text{km/h}.
Arredondando: v_s \approx 94,15\\ \text{km/h}.

Passo 6

Encontrar f_s (frequência da sirene em repouso). Usamos uma das equações (por exemplo a da aproximação):
560 = f_s \,\frac{v}{v - v_s}.
Isolando f_s:
f_s = 560\,\frac{v - v_s}{v} = 560\left(1 - \frac{v_s}{v}\right).
Como da Passo 4 temos \dfrac{v_s}{v}=\dfrac{1}{13}, então
f_s = 560\left(1 - \frac{1}{13}\right) = 560\cdot\frac{12}{13} = \frac{6720}{13}\\ \text{Hz}.
Calculando numericamente:
f_s = \frac{6720}{13}\\ \text{Hz} \approx 516,9230769\\ \text{Hz}.
Arredondando: f_s \approx 516,92\\ \text{Hz} (ou, com três algarismos significativos, 517\\ \text{Hz}).

Resposta

Velocidade do carro: 26,15\\ \text{m/s}\approx94,15\\ \text{km/h}
Frequência da sirene em repouso: 516,92\\ \text{Hz}

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