Uma corda com 100 cm de comprimento tem uma massa de 2,00 \mathrm{~g} e uma traçâo de 8,00 \mathrm{~N}. (a) Qual é a velocidade de uma onda na corda? (b) Qual é a menor frequência de ressonância da corda?

Passo 1

O enunciado dá uma corda com comprimento, massa e tensão e pede duas coisas:
  • Dados fornecidos:
    • Comprimento: L = 100\\ \text{cm}.
    • Massa da corda: m = 2{,}00\\ \text{g}.
    • Tração (tensão): T = 8{,}00\\ \text{N}.
  • Perguntas:
    • (a) Qual é a velocidade de uma onda na corda?
    • (b) Qual é a menor frequência de ressonância da corda?

Passo 2

Primeiro passo prático: passar tudo para unidades do SI (para trabalhar tranquilo com fórmulas).
  • Converter comprimento: L = 100\\ \text{cm} = 1{,}00\\ \text{m}.
  • Converter massa: m = 2{,}00\\ \text{g} = 0{,}00200\\ \text{kg}.
  • Definir densidade linear de massa \mu (massa por unidade de comprimento): \mu = \frac{m}{L}.Substituindo: \mu = \frac{0{,}00200\\ \text{kg}}{1{,}00\\ \text{m}} = 0{,}00200\\ \text{kg}\!/\!\text{m}.
Explicação curta: \mu diz quanto de massa existe em cada metro da corda; é essencial porque ondas transitam mais devagar em cordas “mais pesadas” por metro.

Passo 3

Agora a velocidade de uma onda transversal numa corda tensa é dada pela fórmula
v = \sqrt{\frac{T}{\mu}},
onde:
  • v é a velocidade da onda (m/s),
  • T é a tensão na corda (N),
  • \mu é a densidade linear de massa (kg/m).
Breve intuição física (sem derivação pesada): quanto maior a tensão, mais “esticada” está a corda e mais rápido viajam os distúrbios; quanto maior a massa por metro, mais inércia e mais lenta a onda.
Calcular numericamente:
\frac{T}{\mu}=\frac{8{,}00\\ \text{N}}{0{,}00200\\ \text{kg}\!/\!\text{m}}=4000\\ \text{m}^2\!/\!\text{s}^2,
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v=\sqrt{4000}\\ \text{m/s}\approx 63{,}2\\ \text{m/s}.
Observação sobre algarismos significativos: os dados têm três algarismos significativos, então apresentar v com três algarismos significativos faz sentido.

Passo 4

Agora a menor frequência de ressonância (fundamental) de uma corda fixa nas duas extremidades corresponde ao modo com o menor número de meio-ondas cabendo na corda: apenas um semiperíodo transverse; a relação é
\lambda_1 = 2L
para o modo fundamental (comprimento de onda), e a frequência correspondente é
f_1 = \frac{v}{\lambda_1} = \frac{v}{2L}.
Explicando: para uma corda fixa nos dois extremos, os modos estacionários têm nós nas extremidades e os comprimentos de onda permitidos satisfazem \lambda_n = 2L/n com n\in\mathbb{Z}^+. O menor n é n=1.
Substituindo v e L:
f_1 = \frac{63{,}2455\ldots\\ \text{m/s}}{2\cdot 1{,}00\\ \text{m}} = \frac{63{,}2455\ldots}{2}\\ \text{Hz}\approx 31{,}6\\ \text{Hz}.
Aqui usei o valor não arredondado de v para calcular f_1 e depois arredondei o resultado para três algarismos significativos.

Passo 5

Resumo rápido do método para a prova (dica prática):
  • Sempre calcule \mu = m/L com unidades SI.
  • Use v=\sqrt{T/\mu}.
  • Para frequências de corda fixa em ambas as extremidades: f_n = n v/(2L). O menor é com n=1.
  • Se precisar, faça checagem dimensional: T/\mu tem dimensão de \text{(N)}/(\text{kg/m}) = \text{m}^2/\text{s}^2, a raiz dá \text{m/s}, ok.
Força na perna, você chega lá!

Resposta

(a) v = 6{,}32\times 10^{1}\\ \text{m/s} \approx 63{,}2\\ \text{m/s}
(b) f_{\text{mín}} = f_1 = \dfrac{v}{2L} \approx 31{,}6\\ \text{Hz}í

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