A velocidade de uma onda transversal em uma corda é 180 \mathrm{~m} / \mathrm{s} quando a traçāo da corda é 130 N. Qual deve ser o valor da traçāo para que a velocidade da onda aumente para 250 \mathrm{~m} / \mathrm{s} ?

Passo 1

O que o enunciado dá e o que pede (peguei os números do enunciado):
  • Velocidade inicial da onda: v_1 = 180\\ \mathrm{m/s}.
  • Tração (tensão) inicial da corda: T_1 = 130\\ \mathrm{N}.
  • Velocidade desejada da onda: v_2 = 250\\ \mathrm{m/s}.
    O enunciado pede: determinar a nova tração T_2 que faz a velocidade da onda ser v_2.

Passo 2

Apresentar a fórmula física que relaciona velocidade, tração e massa linear.
A velocidade de uma onda transversal numa corda homogênea é dada por
v=\sqrt{\dfrac{T}{\mu}},
onde:
  • v é a velocidade da onda (em \mathrm{m/s}),
  • T é a tração (tensão) na corda (em \mathrm{N}),
  • \mu é a massa por unidade de comprimento da corda, chamada densidade linear (em \mathrm{kg/m}).
Explicação intuitiva: quanto maior a tração, mais “esticada” e mais rápida fica a corda; quanto maior a massa por comprimento, mais lenta fica a onda. A fórmula mostra que v cresce com a raiz quadrada de T.

Passo 3

Escrever a mesma fórmula para os dois estados (antes e depois). Como a corda é a mesma, a densidade linear \mu é a mesma nos dois casos:
v_1^2=\dfrac{T_1}{\mu}, \qquad v_2^2=\dfrac{T_2}{\mu}.

Passo 4

Eliminar \mu dividindo uma equação pela outra para obter relação entre velocidades e trações:
\frac{v_2^2}{v_1^2}=\frac{T_2}{T_1}.
Isolando T_2 obtém-se a fórmula prática que usaremos na prova:
T_2 = T_1\left(\dfrac{v_2}{v_1}\right)^2.
Observação: essa manipulação é útil na prova porque evita precisar conhecer \mu; basta saber que \mu é constante.

Passo 5

Aplicar a fórmula com os números dados (não é preciso \mu):
T_2 = 130\left(\dfrac{250}{180}\right)^2.
Simplificando a fração \dfrac{250}{180}=\dfrac{25}{18}, temos
T_2 = 130\left(\dfrac{25}{18}\right)^2 = 130\cdot\dfrac{625}{324} = \dfrac{81250}{324}\\ \mathrm{N}.

Resposta

251\\ \mathrm{N}

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