Responda falso ou verdadeiro a cada uma das afirmações abaixo (justifique suas respostas). Se
é uma matriz
e
então
ou
(
é a matriz identidade
).
Passo 1
Vamos analisar a afirmação: "Se
é uma matriz
e
, então
ou
."
Aqui, estamos lidando com matrizes quadradas e operações de multiplicação matricial. Precisamos verificar se, ao elevar uma matriz ao quadrado e obter a matriz identidade, a única possibilidade é que a matriz original seja a identidade ou a negativa da identidade.
Aqui, estamos lidando com matrizes quadradas e operações de multiplicação matricial. Precisamos verificar se, ao elevar uma matriz ao quadrado e obter a matriz identidade, a única possibilidade é que a matriz original seja a identidade ou a negativa da identidade.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa
. Isso implica que quando multiplicamos a matriz
por ela mesma, obtemos a matriz identidade
. Matrizes que satisfazem
são chamadas de involutivas.
Agora, vamos considerar exemplos para verificar se a única solução é
ou
:
Exemplo 1:
Considere a matriz identidade:
Considere a matriz identidade:
Aqui,
satisfaz a condição.
Exemplo 2:
Considere a matriz negativa da identidade:
Considere a matriz negativa da identidade:
Aqui,
também satisfaz a condição.
Exemplo 3:
Agora, vamos considerar uma matriz que não é nem a identidade nem a negativa da identidade:
Agora, vamos considerar uma matriz que não é nem a identidade nem a negativa da identidade:
Calculando
:
Aqui,
mas
e
.
Resposta
Falso. Nem toda matriz
que satisfaz
é necessariamente igual a
ou
. Existem matrizes involutivas que possuem elementos diferentes na diagonal, como o exemplo mostrado, onde
, que não é igual nem a
nem a
, mas ainda assim satisfaz
.