Sejam
e
duas matrizes quadradas
. Suponha agora que:
e
e verifique que
e conclua que neste caso
.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos duas matrizes quadradas
e
de ordem
:
O objetivo é verificar que
e, a partir disso, concluir que
. Vamos precisar lembrar como multiplicar matrizes e como calcular a potência de uma matriz.
Passo 2
Vamos calcular o produto
. Para multiplicar duas matrizes, multiplicamos as linhas da primeira matriz pelas colunas da segunda e somamos os resultados.
Passo 3
Agora, vamos calcular o produto
:
Passo 4
Comparando
e
:
Portanto,
, ou seja, as matrizes
e
não comutam.
Passo 5
Sabemos que, em álgebra matricial, se
, então
. Mas aqui vimos que
, o que sugere que essa igualdade não vai valer.
Vamos calcular
e
para verificar isso.
Passo 6
Primeiro, calculamos
:
Agora, elevamos
ao quadrado:
Passo 7
Agora, vamos calcular
. Primeiro, precisamos de
e
.
Calculando
:
Calculando
:
Agora, somamos
:
Passo 8
Agora comparamos os resultados:
Claramente,
.
Resposta
Concluímos que, como
, temos que
.