Considere o sistema A X=B, com
A=(rrc 1 & 2 & -3 3 & -1 & 5 4 & 1 & a^2-16 ) e B=(c 4 2 a+14 )
(b) Existem valores para a de forma que o sistema tenha infinitas soluções?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para ver se existem valores de que fazem o sistema ter infinitas soluções. Isso envolve conceitos de sistemas lineares e determinantes de matrizes. Para resolver, vamos precisar calcular o determinante da matriz e ver quando ele é zero, o que indica que o sistema pode ter infinitas soluções.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a matriz A = 1 & 2 & -3 3 & -1 & 5 4 & 1 & a^2 - 16 , B = 4 2 a + 14 e o vetor :

Passo 3

Para que o sistema tenha infinitas soluções, o determinante da matriz precisa ser zero. Vamos calcular .

Passo 4

Usamos a regra de Sarrus para calcular o determinante de uma matriz 3x3:
det(A) = 1 cdot (-1) cdot (a^2 - 16) + 2 cdot 5 cdot 4 + (-3) cdot 3 cdot 1 - (-3) cdot (-1) cdot 4 - 2 cdot 3 cdot (a^2 - 16) - 1 cdot 5 cdot 1

Passo 5

Vamos simplificar cada termo:

Passo 6

Somando tudo:
det(A) = (-a^2 + 16) + 40 - 9 - 12 - 6a^2 + 96 - 5
det(A) = -a^2 - 6a^2 + 16 + 40 - 9 - 12 + 96 - 5
det(A) = -7a^2 + (16 + 40 - 9 - 12 + 96 - 5)
det(A) = -7a^2 + 126

Passo 7

Queremos que -7a^2 + 126 = 0 :

Passo 8

Resolvendo para -7a^2 = -126 :
a^2 = 18
a = raiz18 ou a = -raiz18
a = 3raiz2 ou a = -3raiz2
Simplificando:

Resposta

Sim, existem valores de que fazem o sistema ter infinitas soluções, especificamente e .

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