Decida quais das matrizes abaixo estão na forma escada (ou escalonada reduzida). Para as que não estão encontre as suas respectativas matrizes na forma escada
O enunciado pede que eu decida quais das quatro matrizes dadas estão na forma escada (ou escalonada reduzida) e, para as que NÃO estiverem, encontre suas respectivas matrizes na forma escada. As matrizes fornecidas são (copiadas do enunciado):
Para cada matriz, dizer se ela já está em forma escada (escalonada reduzida) ou não.
Para as que não estiverem, apresentar a matriz equivalente em forma escada (vou produzir a forma escalonada reduzida — RREF — usando operações elementares por linhas).
Passo 2
Rápida revisão didática (útil para a prova). O que é forma escada e que operações posso usar?
Forma escada (row-echelon form, REF) significa, de forma prática:
Todas as linhas com apenas zeros (se houver) ficam abaixo das linhas não nulas.
O primeiro elemento não-nulo (chamado de pivô) de uma linha vem estritamente à direita do pivô da linha anterior.
Não é exigido que os pivôs sejam 1 nem que os pivôs sejam os únicos elementos não-zero em sua coluna (isso seria a forma escalonada reduzida).
Forma escalonada reduzida (reduced row-echelon form, RREF) acrescenta:
4. Cada pivô é igual a 1.
5. Cada pivô é o único elemento não-nulo em sua coluna (ou seja, zeros acima e abaixo dos pivôs).
Operações elementares de linha permitidas (que preservam o espaço das soluções se a matriz representar um sistema):
trocar duas linhas;
multiplicar uma linha por um escalar não nulo;
somar a uma linha um múltiplo de outra linha.
Método que vou usar: primeiro farei eliminação para obter pivôs (Gaussian elimination) e depois, quando necessário, aplicarei passos adicionais para zerar acima dos pivôs e normalizá-los (Gauss–Jordan) para terminar em RREF. Vou mostrar passo a passo cada operação para você poder reproduzir na prova sem pânico.
Observação inicial: as duas primeiras linhas têm entrada não nula na mesma coluna (coluna 1), isto indica que provavelmente não está em forma escada. Vou escalonar.
Eliminar a entrada da linha 2 na coluna 1 usando R_2 \leftarrow R_2-R_1:
Agora temos pivôs (colunas 1, 2 e, na última linha, coluna 4 com -3). Para obter a forma escalonada reduzida, normalizo o pivô da terceira linha e zerei acima dele:
Normalizar R_3 dividindo por -3: R_3 \leftarrow \frac{1}{-3}R_3:
Eliminar entradas acima do pivô da coluna 4: zerar o 2 em R_2 e o 0 em R_1 (já zero em coluna 4 para R_1 no estado atual). Primeiro R_2\leftarrow R_2-2R_3:
Por fim, querermos que cada pivô seja o único elemento não-nulo em sua coluna. Já temos pivôs nas colunas 1,2,4 e nessas colunas toda a coluna, exceto o pivô, é zero. A forma acima é, portanto, a forma escalonada reduzida (RREF) de M_1.
Conclusão para M_1: não estava em forma escada inicialmente; a RREF obtida é
Verificação direta (sem fazer operações): os pivôs claros são 1 nas colunas 1,2,3,5 (cada uma é a primeira entrada não-nula da respectiva linha), cada pivô é igual a 1 e, em sua coluna, é o único elemento não-nulo (veja que nas colunas 1,2,3,5, em linhas diferentes do pivô há zeros). Além disso, os pivôs aparecem em colunas estritamente crescentes à medida que descemos as linhas. Não há linhas não-nulas abaixo de linhas nulas.
Portanto M_2 já está na forma escalonada reduzida (RREF). Não precisa de transformação.
Observação: a linha 4 tem entrada não-nula na coluna 1, enquanto a linha 1 já tem pivô na coluna 1 — isso viola a regra de forma escada (o pivô da linha 4 deveria estar em coluna mais à direita). Vou eliminar a entrada em (4,1) usando R_4\leftarrow R_4-R_1:
Observação: as três primeiras linhas formam a matriz identidade 3\times3. A quarta linha tem primeiro elemento zero, segundo elemento -1 e terceiro 1. Para estar em forma escada, o pivô da quarta linha (se houver) deveria estar à direita do pivô da terceira linha; mas o pivô da terceira linha está na coluna 3, e a quarta linha tem sua primeira não-nula na coluna 2 (que está à esquerda), portanto NÃO está em forma escada. Vou fazer operações para escalonar.
Eliminar a entrada -1 na coluna 2 da linha 4 somando R_2 a R_4: R_4\leftarrow R_4+R_2:
A matriz acima está na forma escalonada reduzida (RREF): pivôs 1 nas colunas 1,2,3, e colunas de pivôs têm zeros fora dos pivôs; a linha nula está embaixo.
Conclusão para M_4: não estava em forma escada inicialmente; a RREF obtida é