Responda:
Qual a importância da permissividade elétrica?
\epsilon_{0}=\frac{1}{4 \pi k}=\frac{1}{4 \pi\left(8.99 \times 10^{9} \mathrm{~N} \cdot \mathrm{~m}^{2} / \mathrm{C}^{2}\right)}=8.85 \times 10^{-12} \mathrm{C}^{2} / \mathrm{N} \cdot \mathrm{~m}^{2}

Passo 1

O que o enunciado pede: explicar a importância da permissividade elétrica (a constante \epsilon_0).
Informações fornecidas:
  • A relação entre \epsilon_0 e a constante de Coulomb k:
\epsilon_{0}=\frac{1}{4\pi k}.
  • O valor numérico fornecido:
\epsilon_{0}=\frac{1}{4\pi\left(8{,}99\times10^{9}\\ \mathrm{N}\cdot\mathrm{m}^{2}/\mathrm{C}^{2}\right)}=8{,}85\times10^{-12}\\ \mathrm{C}^{2}/\mathrm{N}\cdot\mathrm{m}^{2}.

Passo 2

O que é, de forma simples e intuitiva.
  • A permissividade elétrica do vácuo \epsilon_0 é uma constante que mede “quanto o vácuo permite” a existência de um campo elétrico gerado por cargas. Pense nela como uma medida da “facilidade” do espaço para acomodar linhas de campo elétrico: quanto maior \epsilon, mais o meio “aceita” o campo sem que este fique muito intenso; quanto menor, mais intenso fica o campo para a mesma carga.
  • Em um meio material a permissividade é \epsilon=\epsilon_r\epsilon_0, onde \epsilon_r é a permissividade relativa (ou constante dielétrica) do material. Assim, materiais com \epsilon_r>1 “atenuam” o campo elétrico em comparação com o vácuo.

Passo 3

Aparece diretamente na lei de Coulomb — como usá-la na prova.
  • A forma usual da força entre duas cargas puntuais é
F = k\frac{q_1 q_2}{r^2}.
  • Como k=\dfrac{1}{4\pi\epsilon_0}, escrevemos
F=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\,\frac{q_1 q_2}{r^2}.
  • Explicando as variáveis: F é a magnitude da força elétrica (em newton), q_1,q_2 são as cargas (em coulomb), r é a distância entre elas (em metro) e \epsilon_0 fixa a escala da força no vácuo.
  • Exemplo prático (para fixar): duas cargas iguais \,q_1=q_2=1{,}0\times10^{-6}\\ \mathrm{C} separadas por r=0{,}10\\ \mathrm{m}. Então
F=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\frac{(1{,}0\times10^{-6})^2}{(0{,}10)^2}.
Usando k=8{,}99\times10^{9}\\ \mathrm{N}\cdot\mathrm{m}^{2}/\mathrm{C}^{2},
F=8{,}99\times10^{9}\cdot\frac{1{,}0\times10^{-12}}{0{,}01}=0{,}899\\ \mathrm{N}\approx0{,}9\\ \mathrm{N}.
Isso mostra numericamente como \epsilon_0 (via k) determina a força.

Passo 4

Papel nas equações de Maxwell e na Lei de Gauss — como simplifica cálculos.
  • A Lei de Gauss em forma integral é
\oint_{\mathcal S}\mathbf{E}\cdot d\mathbf{A}=\frac{Q_{\text{int}}}{\epsilon_0},
e em forma diferencial
\nabla\cdot\mathbf{E}=\frac{\rho}{\epsilon_0}.
  • Interpretação: \epsilon_0 relaciona carga elétrica contida com o fluxo do campo elétrico que sai dessa carga. Na prova, isso permite calcular \mathbf{E} facilmente para distribuições com simetria (esfera, cilindro, plano).
  • Exemplo de uso (curto derivation): para uma carga puntiforme q numa esfera gaussiana de raio r,
E\cdot 4\pi r^2=\frac{q}{\epsilon_0}\quad\Rightarrow\quad E=\frac{q}{4\pi\epsilon_0 r^2},
recuperando a forma do campo usada em problemas.

Passo 5

Importância em capacitância e armazenamento de energia — aplicação prática na prova.
  • Capacitância de um capacitor de placas paralelas (fórmula frequentemente pedida):
C=\frac{\epsilon_0 A}{d},
onde A é a área das placas e d a separação. Aqui \epsilon_0 determina quanto de carga por tensão aquele capacitor armazena no vácuo. Em meios dielétricos troca-se por \epsilon=\epsilon_r\epsilon_0.
  • Exemplo numérico rápido: A=1{,}0\\ \mathrm{m}^2 e d=1{,}0\times10^{-3}\\ \mathrm{m}
C=\frac{8{,}85\times10^{-12}\cdot1{,}0}{1{,}0\times10^{-3}}=8{,}85\times10^{-9}\\ \mathrm{F}=8{,}85\\ \mathrm{nF}.
  • Energia por unidade de volume associada ao campo elétrico:
u=\tfrac{1}{2}\epsilon_0 E^2.
Assim \epsilon_0 também define a densidade de energia elétrica armazenada num campo.

Passo 6

Ligação com a velocidade da luz — relevância fundamental.
  • As constantes \epsilon_0 (permissividade elétrica do vácuo) e \mu_0 (permeabilidade magnética do vácuo) determinam a velocidade das ondas eletromagnéticas no vácuo:
c=\frac{1}{\sqrt{\epsilon_0\mu_0}}.
  • Isso mostra que \epsilon_0 não é só um número para contas: ele aparece na unificação da eletricidade, magnetismo e óptica — é parte do motivo pelo qual luz e ondas eletromagnéticas têm a velocidade c.

Passo 7

Resumo prático do que memorizar e dicas para a prova.
  • Memorização útil:
    • Aparece em Coulomb: F=\dfrac{1}{4\pi\epsilon_0}\dfrac{q_1q_2}{r^2}.
    • Aparece em Gauss: \oint\mathbf{E}\cdot d\mathbf{A}=Q_{\text{int}}/\epsilon_0.
    • Capacitância de placas: C=\epsilon_0 A/d.
    • Densidade de energia: u=\tfrac12\epsilon_0 E^2.
    • Relação com c: c=1/\sqrt{\epsilon_0\mu_0}.
  • Dica de prova: quando ver \epsilon_0, pense “escala do campo no vácuo” — assim fica mais fácil decidir qual fórmula usar e interpretar o resultado.
  • Incentivo: pratique aplicando \epsilon_0 em problemas de Coulomb, Gauss e capacitores; verás que sempre age como um fator que fixa a intensidade do campo/energia para uma dada carga ou geometria.

Resposta

A permissividade elétrica do vácuo \epsilon_0 é a constante que fixa a escala das interações elétricas no vácuo: ela aparece em Coulomb (definindo a força entre cargas), na Lei de Gauss (relacionando fluxo elétrico à carga), nas fórmulas de capacitância e na densidade de energia do campo ( u=\tfrac12\epsilon_0 E^2), e, junto com \mu_0, determina a velocidade da luz por c=1/\sqrt{\epsilon_0\mu_0}; numericamente \epsilon_{0}=8{,}85\times10^{-12}\\ \mathrm{C}^{2}/\mathrm{N}\cdot\mathrm{m}^{2}.

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