Responda:
Que significa constante eletrostática K na Lei de Coulomb?
k_{\mathrm{e}}=\frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}}

Passo 1

O enunciado pergunta: “Que significa constante eletrostática K na Lei de Coulomb?” e fornece a relação
k_{\mathrm{e}}=\frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}.
Vamos listar o que está dado e o que se pede:
  • Dado: a expressão \displaystyle k_{\mathrm{e}}=\frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}.
  • Pedido: explicar o que essa constante representa, seu papel na Lei de Coulomb e o que é \varepsilon_{0}.

Passo 2

Escrevendo a Lei de Coulomb para duas cargas puntiformes:
F=\;k_{\mathrm{e}}\;\frac{|q_{1}q_{2}|}{r^{2}},
onde:
  • F é o módulo da força elétrica entre as cargas (em newtons, \mathrm{N});
  • q_{1} e q_{2} são as cargas (em coulombs, \mathrm{C});
  • r é a distância entre as cargas (em metros, \mathrm{m});
  • k_{\mathrm{e}} é a constante eletrostática (aquela que queremos entender).
O papel de k_{\mathrm{e}} aqui é ser a constante de proporcionalidade que transforma o produto das cargas dividido por r^{2} em uma força com as unidades e a intensidade corretas. Ou seja, ela “calibra” quão forte é a interação elétrica no Sistema Internacional (SI).

Passo 3

Origem física da forma \displaystyle k_{\mathrm{e}}=\frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}.
Breve derivação usando a Lei de Gauss (explicada de forma simples):
  • A Lei de Gauss para o campo elétrico no vácuo diz que o fluxo do campo elétrico através de uma superfície fechada que envolve uma carga q vale \dfrac{q}{\varepsilon_{0}}.
  • Para uma carga puntual, por simetria esférica o campo elétrico tem módulo E(r) constante numa esfera de raio r, então o fluxo é E(r)\cdot 4\pi r^{2}.
  • Igualando fluxo à carga dividida por \varepsilon_{0}:
E(r)\cdot 4\pi r^{2}=\frac{q}{\varepsilon_{0}} \quad\Rightarrow\quad E(r)=\frac{q}{4\pi\varepsilon_{0}r^{2}}.
  • A força sobre uma segunda carga q_{2} é F=q_{2}E(r), portanto
F=\frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\frac{q_{1}q_{2}}{r^{2}}.
Daí fica claro que
k_{\mathrm{e}}=\frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}
vem diretamente da combinação da Lei de Gauss com a simetria esférica — o fator 4\pi aparece por causa da área da esfera 4\pi r^{2}.

Passo 4

O que é \varepsilon_{0} (permissividade do vácuo) e interpretação física.
  • \varepsilon_{0} é a permissividade elétrica do espaço livre (vácuo). É uma constante que mede “quanto o vácuo permite” ou “sufoca” a formação do campo elétrico produzido por uma carga.
  • Numericamente:
\varepsilon_{0}\approx 8{,}854187817\times 10^{-12}\\ \mathrm{F\cdot m^{-1}}.
  • Como \varepsilon_{0} aparece no denominador de k_{\mathrm{e}}, quanto maior \varepsilon_{0} menor é k_{\mathrm{e}}, ou seja, maior permissividade → campo/força menores para a mesma carga e distância.

Passo 5

Valor numérico e unidades de k_{\mathrm{e}}.
  • Calculando a constante:
k_{\mathrm{e}}=\frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\approx 8{,}987551792\times 10^{9}\\ \mathrm{N\;m^{2}\;C^{-2}}.
(Para cálculos rápidos na prova pode-se usar k_{\mathrm{e}}\approx 9{,}0\times 10^{9}\\ \mathrm{N\;m^{2}\;C^{-2}}.)
  • Unidades: a equação \;F=k_{\mathrm{e}}\,\dfrac{q_{1}q_{2}}{r^{2}}\; exige que k_{\mathrm{e}} tenha unidades de \mathrm{N\;m^{2}\;C^{-2}} para que o lado direito resulte em newtons. Essas unidades vêm também da relação entre \varepsilon_{0} (unidade \mathrm{F\cdot m^{-1}}=\mathrm{C^{2}\;N^{-1}\;m^{-2}}) e o inverso 1/(4\pi\varepsilon_{0}).

Passo 6

Efeito de um meio material (quando não estamos no vácuo).
  • Em um meio material substitui-se \varepsilon_{0} por \varepsilon=\varepsilon_{r}\varepsilon_{0}, onde \varepsilon_{r} é a permissividade relativa do material.
  • A constante efetiva então fica
k=\frac{1}{4\pi\varepsilon}=\frac{1}{4\pi\varepsilon_{r}\varepsilon_{0}}.
  • Interpretação: num material com \varepsilon_{r}>1 a força entre cargas é reduzida em relação ao vácuo (o meio “diminui” o campo).

Passo 7

Exemplo concreto e rápido para fixar (sem calcador exato complicado).
  • Duas cargas q_{1}=q_{2}=1\\ \mu\mathrm{C}=1\times 10^{-6}\\ \mathrm{C} separadas por r=1\\ \mathrm{m}:
F=k_{\mathrm{e}}\frac{q_{1}q_{2}}{r^{2}} \approx (9{,}0\times 10^{9})\frac{(1\times 10^{-6})^{2}}{1^{2}} =9{,}0\times 10^{-3}\\ \mathrm{N}=9{,}0\\ \mathrm{mN}.
  • Isso dá uma sensação prática: cargas bem pequenas produzem forças também pequenas a distâncias macroscópicas, mas k_{\mathrm{e}} é grande porque a carga elétrica é uma unidade pequena (o coulomb é uma quantidade de carga relativamente grande/pequena dependendo do contexto).

Passo 8

Observações adicionais curtas e motivadoras
  • Em certos sistemas de unidades (por exemplo, unidades “gaussianas” CGS) escolhe-se a convenção que faz k_{\mathrm{e}}=1 e a constante \varepsilon_{0} não aparece; isso mostra que k_{\mathrm{e}} é em parte uma escolha de convenção de unidades, embora sua presença em SI esteja ligada às constantes fundamentais das equações de Maxwell.
  • Você já tem aqui a intuição: k_{\mathrm{e}} conecta cargas e distâncias com força; sua forma \dfrac{1}{4\pi\varepsilon_{0}} vem da simetria esférica (fator 4\pi) e da propriedade do vácuo de “permitir” o campo ( \varepsilon_{0}). Vai dar certo na prova — respira e aplica a fórmula com calma!

Resposta

k_{\mathrm{e}} é a constante de proporcionalidade da Lei de Coulomb, igual a \displaystyle k_{\mathrm{e}}=\frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}, numericamente \displaystyle k_{\mathrm{e}}\approx 8{,}98755179\times 10^{9}\\ \mathrm{N\;m^{2}\;C^{-2}}, onde \varepsilon_{0}\approx 8{,}854187817\times 10^{-12}\\ \mathrm{F\;m^{-1}} é a permissividade do vácuo; em meios materiais substitui-se \varepsilon_{0} por \varepsilon=\varepsilon_{r}\varepsilon_{0}.

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