Uma cavidade de paredes condutoras é linear e possui tamanho L =100 \mathrm{~cm}. Determine o maior comprimento de onda de uma onda eletromagnética no interior da cavidade.
Escolha uma opção:
◯ a. \quad 100 \mathrm{~cm}.
◯ b. \quad 200 \mathrm{~cm}.
◯ c. 50 cm .
◯ d. 25 cm .

Passo 1

O enunciado dá a seguinte informação e pede uma coisa clara:
  • Comprimento da cavidade: L=100\\ \mathrm{cm}.
  • A cavidade tem paredes condutoras e é “linear” (ou seja, uma direção finita L onde as ondas formam modos estacionários).
  • Pergunta: determinar o maior comprimento de onda possível de uma onda eletromagnética no interior dessa cavidade (entre as opções dadas).

Passo 2

Entender o que significa “modos estacionários” e as condições nas paredes condutoras.
  • Em uma cavidade com paredes condutoras perfeitas, o componente do campo elétrico paralelo à superfície deve ser zero na superfície. Isso implica que, ao longo da direção x entre x=0 e x=L, o campo elétrico da onda estacionária tem nós (valores nulos) nas extremidades.
  • Um modo estacionário unidimensional pode ser escrito (uma forma prática para visualizar) como
E(x,t)=E_0\sin(kx)\cos(\omega t),
onde:
  • E_0 é a amplitude,
  • k é o número de onda (ou wave number),
  • \omega é a frequência angular.
  • A condição de nó nas paredes em x=0 e x=L exige \sin(kL)=0, isto é
kL = n\pi,
com n inteiro positivo ( n=1,2,3,\dots).
  • A relação entre número de onda e comprimento de onda é
k=\frac{2\pi}{\lambda}.

Passo 3

Combinar as equações para achar os comprimentos de onda permitidos.
  • Substituindo k=\dfrac{2\pi}{\lambda} na condição kL=n\pi obtemos
\frac{2\pi}{\lambda}L = n\pi.
  • Simplificando os \pi,
\frac{2L}{\lambda}=n.
  • Isolando \lambda,
\lambda_n=\frac{2L}{n},
onde n\in\{1,2,3,\dots\}. Esses são os comprimentos de onda permitidos (modos) na cavidade.

Passo 4

Determinar o maior comprimento de onda.
  • Observação: n é inteiro positivo; quanto menor n, maior \lambda_n. O maior comprimento de onda corresponde a n=1 (modo fundamental).
  • Assim
\lambda_{\max}=\lambda_{1}=\frac{2L}{1}=2L.
  • Substituindo L=100\\ \mathrm{cm}:
\lambda_{\max}=2\cdot(100\\ \mathrm{cm})=200\\ \mathrm{cm}.

Resposta

b. 200\\ \mathrm{cm}

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