Responda os itens abaixo.
(c) Defina o que é um valor crítico de uma função f.

Passo 1

O enunciado pede que eu defina o que é um valor crítico de uma função f. Não foi dada nenhuma função específica nem restrição adicional, então a definição deve ser geral e aplicável em provas.

Passo 2

Antes de dar a definição, vamos lembrar dois conceitos básicos que vão aparecer na definição:
  • A função f tem um domínio, que chamaremos de \mathrm{dom}(f).
  • A derivada f'(x) é a taxa de variação instantânea de f em x; existe quando o limite que define a derivada existe.

Passo 3

Agora vou definir primeiro o que é um ponto crítico (ou número crítico), pois o valor crítico é o valor da função nesse ponto. Um ponto c é chamado de ponto crítico de f se:
  • c\in\mathrm{dom}(f) e
  • ou f'\text{(c)}=0, ou f'\text{(c)} não existe.
Observações rápidas sobre essa definição:
  • Alguns autores exigem que c seja um ponto interior do domínio (por exemplo, interior de um intervalo). Outros permitem qualquer c no domínio, incluindo extremos do intervalo. Em provas, quando se busca máximos e mínimos em intervalos fechados, deve-se sempre checar também os pontos extremos do intervalo mesmo que a definição usada peça interior — portanto eu recomendo considerar os extremos como candidatos em exercícios práticos.

Passo 4

Agora a definição pedida: o valor crítico é simplesmente o valor da função em um ponto crítico. Ou seja, se c é ponto crítico, então f\text{(c)} é um valor crítico.

Passo 5

Vou exemplificar com três exemplos simples para fixar a ideia:
  • Exemplo 1: f(x)=x^2. Aqui f'(x)=2x. Resolver f'(x)=0 x=0. Logo 0 é ponto crítico e o valor crítico é f(0)=0.
  • Exemplo 2: f(x)=|x|. Aqui a derivada não existe em x=0. Como 0\in\mathrm{dom}(f) e f' não existe em 0, 0 é ponto crítico; o valor crítico é f(0)=0.
  • Exemplo 3: f(x)=x^3. Aqui f'(x)=3x^2, então f'(0)=0. Assim 0 é ponto crítico e o valor crítico é f(0)=0. Atenção: nesse caso o valor crítico 0 não corresponde a máximo nem mínimo local (é um ponto de inflexão). Ou seja, ponto crítico é candidato a extremo, não garante extremo.

Passo 6

Como usar isso na prova (passos práticos):
  1. Calcule f'(x).
  2. Resolva f'(x)=0 e anote as soluções que pertencem ao domínio.
  3. Encontre os pontos do domínio onde f'(x) não existe (se existirem).
  4. Conclua que todos esses pontos são pontos críticos; avalie f nesses pontos para obter os valores críticos.
  5. Se estiver procurando extremos em intervalo fechado, também avalie f nos extremos do intervalo (mesmo que a definição exija interior).

Passo 7

Erros comuns para evitar:
  • Esquecer de checar pontos onde a derivada não existe.
  • Confundir ponto crítico com certeza de máximo ou mínimo.
  • Não avaliar os extremos de intervalos fechados quando a questão pede extremos globais.

Resposta

Um valor crítico de f é um número da forma f\text{(c)} em que c\in\mathrm{dom}(f) é um ponto crítico, ou seja, c é tal que f'\text{(c)}=0 ou f'\text{(c)} não existe.

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