Responda os itens abaixo.
(c) Defina o que é um valor crítico de uma função
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(c) Defina o que é um valor crítico de uma função
Passo 1
O enunciado pede que eu defina o que é um valor crítico de uma função
. Não foi dada nenhuma função específica nem restrição adicional, então a definição deve ser geral e aplicável em provas.
Passo 2
Antes de dar a definição, vamos lembrar dois conceitos básicos que vão aparecer na definição:
- A função
tem um domínio, que chamaremos de . - A derivada
é a taxa de variação instantânea de em ; existe quando o limite que define a derivada existe.
Passo 3
Agora vou definir primeiro o que é um ponto crítico (ou número crítico), pois o valor crítico é o valor da função nesse ponto. Um ponto
é chamado de ponto crítico de
se:
-
e - ou
, ou não existe.
Observações rápidas sobre essa definição:
- Alguns autores exigem que
seja um ponto interior do domínio (por exemplo, interior de um intervalo). Outros permitem qualquer no domínio, incluindo extremos do intervalo. Em provas, quando se busca máximos e mínimos em intervalos fechados, deve-se sempre checar também os pontos extremos do intervalo mesmo que a definição usada peça interior — portanto eu recomendo considerar os extremos como candidatos em exercícios práticos.
Passo 4
Agora a definição pedida: o valor crítico é simplesmente o valor da função em um ponto crítico. Ou seja, se
é ponto crítico, então
é um valor crítico.
Passo 5
Vou exemplificar com três exemplos simples para fixar a ideia:
- Exemplo 1:
. Aqui . Resolver dá . Logo é ponto crítico e o valor crítico é . - Exemplo 2:
. Aqui a derivada não existe em . Como e não existe em , é ponto crítico; o valor crítico é . - Exemplo 3:
. Aqui , então . Assim é ponto crítico e o valor crítico é . Atenção: nesse caso o valor crítico não corresponde a máximo nem mínimo local (é um ponto de inflexão). Ou seja, ponto crítico é candidato a extremo, não garante extremo.
Passo 6
Como usar isso na prova (passos práticos):
- Calcule
. - Resolva
e anote as soluções que pertencem ao domínio. - Encontre os pontos do domínio onde
não existe (se existirem). - Conclua que todos esses pontos são pontos críticos; avalie
nesses pontos para obter os valores críticos. - Se estiver procurando extremos em intervalo fechado, também avalie
nos extremos do intervalo (mesmo que a definição exija interior).
Passo 7
Erros comuns para evitar:
- Esquecer de checar pontos onde a derivada não existe.
- Confundir ponto crítico com certeza de máximo ou mínimo.
- Não avaliar os extremos de intervalos fechados quando a questão pede extremos globais.
Resposta
Um valor crítico de
é um número da forma
em que
é um ponto crítico, ou seja,
é tal que
ou
não existe.