Responda os itens abaixo.
(a) Enuncie o teorema que relaciona extremos locais com derivadas de funções.

Passo 1

O enunciado pede que eu enuncie “o teorema que relaciona extremos locais com derivadas de funções”. Ou seja:
  • Informação dada: não há uma função específica; a tarefa é dar o enunciado do teorema (e explicar para que serve).
  • O que é pedido: formular claramente o teorema (hipóteses e conclusão) que conecta a existência de extremos locais com o valor da derivada.

Passo 2

Enunciado principal (forma padrão, necessário):
Seja f uma função definida em um intervalo e seja c um ponto interior desse intervalo. Se f tem um extremo local em c e f é diferenciável em c, então
f'\text{(c)}=0.
Vou agora explicar direitinho o que cada parte significa e por que isso vale.

Passo 3

O que quer dizer cada hipótese:
  • “Ponto interior”: significa que existe um intervalo aberto (c-\delta,c+\delta) contido no domínio de f; precisamos poder aproximar c tanto pela esquerda quanto pela direita.
  • "Extremo local em c": significa que existe \delta>0 tal que, para todo x com |x-c|<\delta, vale f(x)\le f\text{(c)} (máximo local) ou f(x)\ge f\text{(c)} (mínimo local).
  • "Diferenciável em c": significa que o limite
f'\text{(c)}=\lim_{h\to 0}\frac{f(c+h)-f\text{(c)}}{h}
existe (é finito).

Passo 4

Ideia da prova, passo a passo (intuição que cai bem na prova):
  • Suponha que f tem máximo local em c. Então, para h suficientemente pequeno e positivo, f(c+h)\le f\text{(c)}. Dividindo por h>0 obtemos
\frac{f(c+h)-f\text{(c)}}{h}\le 0.
  • Para h pequeno e negativo, também f(c+h)\le f\text{(c)}; como h<0, ao dividir por h obtemos
\frac{f(c+h)-f\text{(c)}}{h}\ge 0.
  • Assim, as diferenças quocientes para h>0 são \le 0 e para h<0 são \ge 0. Como a derivada é o limite desses quocientes quando h\to 0 e esse limite existe (hipótese de diferenciabilidade), a única possibilidade é que o limite seja 0. Logo f'\text{(c)}=0.
  • Para mínimo local a argumentação é análoga (troca dos sinais).

Passo 5

Observações importantes (o que cai na prova e o que NÃO é verdade automaticamente):
  • Esta é uma condição necessária, não suficiente: f'\text{(c)}=0 não garante que c é extremo. Contraexemplo clássico: f(x)=x^3. Tem f'(x)=3x^2, então f'(0)=0, mas 0 não é extremo (é ponto de inflexão).
  • Portanto, ao resolver exercícios de encontrar extremos, não basta achar pontos com f'(x)=0; é preciso testar a natureza do ponto (ver mudança de sinal de f' ou usar o teste da segunda derivada).

Passo 6

Complemento prático: como usar isso numa prova passo a passo
  1. Determine o domínio de f.
  2. Calcule f'(x) e encontre todos os pontos críticos: pontos onde f'(x)=0 ou onde f' não existe.
  3. Para cada ponto crítico interior ao domínio, use um dos testes:
    • Teste da primeira derivada: analise o sinal de f' à esquerda e à direita; mudança de + para − indica máximo local, de − para + indica mínimo local.
    • Teste da segunda derivada (suficiente): se f'\text{(c)}=0 e f''\text{(c)}>0 então mínimo local; se f''\text{(c)}<0 então máximo local; se f''\text{(c)}=0 o teste é inconclusivo.
  4. Não esquecer de verificar os extremos em pontos de fronteira do domínio (se o domínio for um intervalo fechado, avaliar também os extremos globais nos extremos do intervalo).

Passo 7

Exemplos rápidos (para fixar):
  • f(x)=x^2. Temos f'(x)=2x, logo único ponto crítico x=0. Como f''(0)=2>0, 0 é mínimo local (e global).
  • f(x)=x^3. Temos f'(x)=3x^2, logo f'(0)=0 mas f''(0)=0; olhando f percebe-se que 0 não é extremo (o sinal de f' é positivo ambos os lados), então não há extremo em 0.
  • f(x)=|x|. No 0 a derivada não existe, mas 0 é mínimo local; isso mostra por que pontos onde f' não existe também devem ser verificados.

Resposta

Seja f definida em um intervalo e seja c um ponto interior desse intervalo. Se f tem um extremo local em c e f é diferenciável em c, então
f'\text{(c)}=0.

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