Responda os itens abaixo.
(a) Enuncie o teorema que relaciona extremos locais com derivadas de funções.
(a) Enuncie o teorema que relaciona extremos locais com derivadas de funções.
Passo 1
O enunciado pede que eu enuncie “o teorema que relaciona extremos locais com derivadas de funções”. Ou seja:
- Informação dada: não há uma função específica; a tarefa é dar o enunciado do teorema (e explicar para que serve).
- O que é pedido: formular claramente o teorema (hipóteses e conclusão) que conecta a existência de extremos locais com o valor da derivada.
Passo 2
Enunciado principal (forma padrão, necessário):
Seja uma função definida em um intervalo e seja
um ponto interior desse intervalo. Se
tem um extremo local em
e
é diferenciável em
, então
Seja
Vou agora explicar direitinho o que cada parte significa e por que isso vale.
Passo 3
O que quer dizer cada hipótese:
- “Ponto interior”: significa que existe um intervalo aberto
contido no domínio de ; precisamos poder aproximar tanto pela esquerda quanto pela direita. - "Extremo local em
": significa que existe tal que, para todo com , vale (máximo local) ou (mínimo local). - "Diferenciável em
": significa que o limite
existe (é finito).
Passo 4
Ideia da prova, passo a passo (intuição que cai bem na prova):
- Suponha que
tem máximo local em . Então, para suficientemente pequeno e positivo, . Dividindo por obtemos
- Para
pequeno e negativo, também ; como , ao dividir por obtemos
- Assim, as diferenças quocientes para
são e para são . Como a derivada é o limite desses quocientes quando e esse limite existe (hipótese de diferenciabilidade), a única possibilidade é que o limite seja . Logo . - Para mínimo local a argumentação é análoga (troca dos sinais).
Passo 5
Observações importantes (o que cai na prova e o que NÃO é verdade automaticamente):
- Esta é uma condição necessária, não suficiente:
não garante que é extremo. Contraexemplo clássico: . Tem , então , mas não é extremo (é ponto de inflexão). - Portanto, ao resolver exercícios de encontrar extremos, não basta achar pontos com
; é preciso testar a natureza do ponto (ver mudança de sinal de ou usar o teste da segunda derivada).
Passo 6
Complemento prático: como usar isso numa prova passo a passo
- Determine o domínio de
. - Calcule
e encontre todos os pontos críticos: pontos onde ou onde não existe. - Para cada ponto crítico interior ao domínio, use um dos testes:
- Teste da primeira derivada: analise o sinal de
à esquerda e à direita; mudança de + para − indica máximo local, de − para + indica mínimo local. - Teste da segunda derivada (suficiente): se
e então mínimo local; se então máximo local; se o teste é inconclusivo.
- Teste da primeira derivada: analise o sinal de
- Não esquecer de verificar os extremos em pontos de fronteira do domínio (se o domínio for um intervalo fechado, avaliar também os extremos globais nos extremos do intervalo).
Passo 7
Exemplos rápidos (para fixar):
-
. Temos , logo único ponto crítico . Como , é mínimo local (e global). -
. Temos , logo mas ; olhando percebe-se que não é extremo (o sinal de é positivo ambos os lados), então não há extremo em . -
. No a derivada não existe, mas é mínimo local; isso mostra por que pontos onde não existe também devem ser verificados.
Resposta
Seja
definida em um intervalo e seja
um ponto interior desse intervalo. Se
tem um extremo local em
e
é diferenciável em
, então