Responda os itens abaixo.
(d) Explique por que a recíproca do teorema do item (a) não é verdadeira. Dê um exemplo.

Passo 1

O enunciado que recebi pede: explicar por que a recíproca do teorema do item (a) não é verdadeira e dar um exemplo. O texto do item (a) não foi fornecido aqui, portanto não posso referir-me especificamente a esse teorema. Vou, então, explicar de forma geral por que a recíproca de um teorema do tipo "se A então B" costuma não ser verdadeira e vou dar um exemplo clássico e autocontido que ilustra exatamente essa situação.
Entendendo termos básicos. Quando um teorema diz "se A então B" significa que sempre que a propriedade A ocorre, a propriedade B ocorre também. A recíproca é a afirmação "se B então A". Em lógica, uma implicação A\Rightarrow B não implica automaticamente sua recíproca B\Rightarrow A. Ou seja, conhecer que A implica B não garante que apenas por ter B também se tenha A.

Passo 2

Como provar que a recíproca não é verdadeira? Método prático: apresentar um contraexemplo. Isso significa encontrar um objeto (um número, uma função, uma matriz etc.) que satisfaça B mas não satisfaça A. Um único contraexemplo basta para mostrar que a recíproca é falsa no geral.

Passo 3

Escolhendo um exemplo clássico e simples (autocontido). Vou usar um teorema muito comum em cálculo diferencial que não depende do item (a) original, só serve para ilustrar a ideia:
Teorema conhecido: “Se f é diferenciável em x_0 então f é contínua em x_0.” (isto é, diferenciabilidade implica continuidade).
A recíproca seria: “Se f é contínua em x_0 então f é diferenciável em x_0.” Vou mostrar que essa recíproca é falsa com um contraexemplo simples.

Passo 4

Apresentando o contraexemplo e mostrando os cálculos passo a passo.
  • Considere a função \,f(x)=|x|\,.
  • Primeiro, mostrar que \,f é contínua em x_0=0.
    • Pela definição de continuidade, é preciso que \lim_{x\to0}f(x)=f(0).
    • Temos f(0)=|0|=0. Para x\to0, |x|\to0. Logo \lim_{x\to0}|x|=0=f(0). Assim, \,f é contínua em 0.
  • Agora, verificar diferenciabilidade em 0 pela definição de derivada:
    • A derivada em 0 (se existir) é o limite f'(0)=\lim_{h\to0}\frac{f(0+h)-f(0)}{h}=\lim_{h\to0}\frac{|h|-0}{h}=\lim_{h\to0}\frac{|h|}{h}.
    • Esse limite não existe porque as duas limites laterais são diferentes: \lim_{h\to0^+}\frac{|h|}{h}=\lim_{h\to0^+}\frac{h}{h}=1, \qquad \lim_{h\to0^-}\frac{|h|}{h}=\lim_{h\to0^-}\frac{-h}{h}=-1.Como 1\neq-1, o limite quando h\to0 não existe; portanto f'(0) não existe e f não é diferenciável em 0.
  • Conclusão do contraexemplo: \,f(x)=|x| é contínua em 0 (satisfaz B) mas não é diferenciável em 0 (não satisfaz A). Isso mostra que a recíproca “continuidade \Rightarrow diferenciabilidade” é falsa.

Passo 5

Interpretação e moral para a prova. Sempre que um teorema afirmar uma implicação A\Rightarrow B, não se pode assumir automaticamente B\Rightarrow A. Na prova (ou em exercícios) o caminho correto para verificar a recíproca é:
  • tentar demonstrar B\Rightarrow A diretamente (frequentemente requer hipóteses adicionais), ou
  • apresentar um contraexemplo que satisfaça B mas não A (se a recíproca for falsa).
    Saber construir/identificar contraexemplos é uma habilidade importante e costuma render uma resposta rápida e convincente em provas.

Resposta

A recíproca de um teorema do tipo "se A então B" não é necessariamente verdadeira porque uma implicação lógica não garante a implicação inversa; para mostrar que a recíproca é falsa basta um contraexemplo. Exemplo clássico: o teorema "diferenciabilidade em x_0 implica continuidade em x_0" tem recíproca falsa — a função \,f(x)=|x|\, é contínua em 0 mas não é diferenciável em 0, portanto mostra que a recíproca é falsa.

Exercícios relacionados