Responda os itens abaixo.
(d) Explique por que a recíproca do teorema do item (a) não é verdadeira. Dê um exemplo.
(d) Explique por que a recíproca do teorema do item (a) não é verdadeira. Dê um exemplo.
Passo 1
O enunciado que recebi pede: explicar por que a recíproca do teorema do item (a) não é verdadeira e dar um exemplo. O texto do item (a) não foi fornecido aqui, portanto não posso referir-me especificamente a esse teorema. Vou, então, explicar de forma geral por que a recíproca de um teorema do tipo "se
então
" costuma não ser verdadeira e vou dar um exemplo clássico e autocontido que ilustra exatamente essa situação.
Entendendo termos básicos. Quando um teorema diz "se
então
" significa que sempre que a propriedade
ocorre, a propriedade
ocorre também. A recíproca é a afirmação "se
então
". Em lógica, uma implicação
não implica automaticamente sua recíproca
. Ou seja, conhecer que
implica
não garante que apenas por ter
também se tenha
.
Passo 2
Como provar que a recíproca não é verdadeira? Método prático: apresentar um contraexemplo. Isso significa encontrar um objeto (um número, uma função, uma matriz etc.) que satisfaça
mas não satisfaça
. Um único contraexemplo basta para mostrar que a recíproca é falsa no geral.
Passo 3
Escolhendo um exemplo clássico e simples (autocontido). Vou usar um teorema muito comum em cálculo diferencial que não depende do item (a) original, só serve para ilustrar a ideia:
Teorema conhecido: “Se é diferenciável em
então
é contínua em
.” (isto é, diferenciabilidade implica continuidade).
Teorema conhecido: “Se
A recíproca seria: “Se
é contínua em
então
é diferenciável em
.” Vou mostrar que essa recíproca é falsa com um contraexemplo simples.
Passo 4
Apresentando o contraexemplo e mostrando os cálculos passo a passo.
- Considere a função
- Primeiro, mostrar que
é contínua em . - Pela definição de continuidade, é preciso que
. - Temos
. Para , . Logo . Assim, é contínua em .
- Pela definição de continuidade, é preciso que
- Agora, verificar diferenciabilidade em
pela definição de derivada: - A derivada em
(se existir) é o limite - Esse limite não existe porque as duas limites laterais são diferentes:
Como , o limite quando não existe; portanto não existe e não é diferenciável em .
- A derivada em
- Conclusão do contraexemplo:
é contínua em (satisfaz ) mas não é diferenciável em (não satisfaz ). Isso mostra que a recíproca “continuidade diferenciabilidade” é falsa.
Passo 5
Interpretação e moral para a prova. Sempre que um teorema afirmar uma implicação
, não se pode assumir automaticamente
. Na prova (ou em exercícios) o caminho correto para verificar a recíproca é:
- tentar demonstrar
diretamente (frequentemente requer hipóteses adicionais), ou - apresentar um contraexemplo que satisfaça
mas não (se a recíproca for falsa).
Saber construir/identificar contraexemplos é uma habilidade importante e costuma render uma resposta rápida e convincente em provas.
Resposta
A recíproca de um teorema do tipo "se
então
" não é necessariamente verdadeira porque uma implicação lógica não garante a implicação inversa; para mostrar que a recíproca é falsa basta um contraexemplo. Exemplo clássico: o teorema "diferenciabilidade em
implica continuidade em
" tem recíproca falsa — a função
é contínua em
mas não é diferenciável em
, portanto mostra que a recíproca é falsa.