Responda os itens abaixo.
Defina o que é um ponto crítico de uma função f.

Passo 1

O que o enunciado pede: definir o que é um ponto crítico de uma função f.
Informações que temos: apenas a instrução para definir; não foi dado domínio nem se a função é de uma ou várias variáveis. Vou portanto dar a definição na forma usual para funções de uma variável e também a generalização para várias variáveis, e explicar bem com exemplos e dicas práticas para a prova.

Passo 2

Definição para função de uma variável (forma usual e explicação).
Considere uma função f: D\subseteq\mathbb{R}\to\mathbb{R}.
  • Forma usual (mais usada em livros e provas): um ponto c\in\operatorname{int}(D) (isto é, um ponto interior do domínio) é chamado de ponto crítico (ou número crítico) de f se ou
    • f'\text{(c)}=0, ou
    • f' não existe em c (mas f está definida em c).
Explicação didática: f'\text{(c)}=0 significa que a tangente em c é horizontal (derivada nula → inclinação zero). Se f' não existe em c pode haver canto, cúspide ou descontinuidade na derivada — esses pontos também podem ser candidatos a máximos ou mínimos locais. Importante: a hipótese c\in\operatorname{int}(D) aparece porque extremos locais internos só podem ocorrer em pontos críticos (teorema de Fermat); em extremos na borda do domínio (endpoints) a derivada pode ser não nula ou não estar definida, mas esses pontos são tratados separadamente como candidatos a extremos.

Passo 3

Exemplos em uma variável — eu mostro devagar para fixar o conceito.
  • Exemplo 1: f(x)=x^2.
    Calcule f'(x)=2x. Resolve f'(x)=0 x=0. Assim 0 é ponto crítico. E, de fato, é um mínimo local (a parábola tem mínimo em 0).
  • Exemplo 2: f(x)=x^3.
    Calcule f'(x)=3x^2. Resolve f'(x)=0 x=0. Assim 0 é ponto crítico. Mas atenção: 0 não é máximo nem mínimo; é um ponto de inflexão (a função passa de concavidade). Isso mostra que ponto crítico não garante extremo — é só candidato.
  • Exemplo 3 (caso derivada não existe): f(x)=|x|.
    Para x>0, f'(x)=1. Para x<0, f'(x)=-1. Em x=0 a derivada não existe (limites laterais diferentes), mas f está definida em 0. Logo 0 é ponto crítico pela segunda condição. E aqui 0 é realmente um mínimo local. Para ver a não existência da derivada, calcule as derivadas laterais:
    f'_-(0)=\lim_{h\to0^-}\frac{|h|-0}{h}=-1,\qquad f'_+(0)=\lim_{h\to0^+}\frac{|h|-0}{h}=1,
    valores diferentes → derivada não existe.

Passo 4

Observação sobre extremos em domínios fechados e borda:
Se o domínio for um intervalo fechado, por exemplo [a,b], os extremos absolutos podem ocorrer em pontos críticos dentro de (a,b) ou nos pontos de borda a e b. Portanto, na prova a receita prática é: (i) encontrar pontos críticos em \operatorname{int}(D), (ii) avaliar também os pontos de borda/bordas do domínio, (iii) comparar valores para decidir extremos absolutos.

Passo 5

Definição para funções de várias variáveis (generalização).
Considere f: U\subseteq\mathbb{R}^n\to\mathbb{R} com U aberto. Um ponto a\in U é ponto crítico de f se ou
  • \nabla f(a)=0 (vetor gradiente nulo, isto é, todas as derivadas parciais em a são zero), ou
  • alguma das derivadas parciais não existe em a (mas f está definida em a).
Explicação: a condição \nabla f(a)=0 é a analogia de f'\text{(c)}=0 em várias variáveis; significa que não existe direção de primeira ordem em que a função aumente ou diminua (ponto estacionário). Assim como no caso unidimensional, um ponto crítico pode ser mínimo, máximo, sela (saddle) ou outro tipo — é apenas um candidato. Para classificar, usa-se a matriz Hessiana quando ela existe.

Passo 6

Resumo prático (passo a passo para a prova):
  1. Determine o domínio D de f.
  2. Calcule derivada f' (ou gradiente \nabla f).
  3. Encontre pontos onde f'=0 (ou \nabla f=0).
  4. Acrescente pontos onde a derivada/ parciais não existem, mas f está definida.
  5. Se o domínio tem borda, verifique também a borda.
  6. Classifique os candidatos (testes da primeira/segunda derivada, Hessiana, ou comparação de valores).

Resposta

Um ponto c\in\operatorname{int}(D) é ponto crítico de f: D\subseteq\mathbb{R}\to\mathbb{R} se ou f'\text{(c)}=0 ou f' não existe em c (com f definida em c).
De forma análoga, para f:U\subseteq\mathbb{R}^n\to\mathbb{R} (com U aberto), um ponto a\in U é crítico se \nabla f(a)=0 ou alguma derivada parcial não existe em a.

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