Responda os itens abaixo.
Defina o que é um ponto crítico de uma função
.
Defina o que é um ponto crítico de uma função
Passo 1
O que o enunciado pede: definir o que é um ponto crítico de uma função
.
Informações que temos: apenas a instrução para definir; não foi dado domínio nem se a função é de uma ou várias variáveis. Vou portanto dar a definição na forma usual para funções de uma variável e também a generalização para várias variáveis, e explicar bem com exemplos e dicas práticas para a prova.
Informações que temos: apenas a instrução para definir; não foi dado domínio nem se a função é de uma ou várias variáveis. Vou portanto dar a definição na forma usual para funções de uma variável e também a generalização para várias variáveis, e explicar bem com exemplos e dicas práticas para a prova.
Passo 2
Definição para função de uma variável (forma usual e explicação).
Considere uma função .
Considere uma função
- Forma usual (mais usada em livros e provas): um ponto
(isto é, um ponto interior do domínio) é chamado de ponto crítico (ou número crítico) de se ou -
, ou -
não existe em (mas está definida em ).
-
Explicação didática:
significa que a tangente em
é horizontal (derivada nula → inclinação zero). Se
não existe em
pode haver canto, cúspide ou descontinuidade na derivada — esses pontos também podem ser candidatos a máximos ou mínimos locais. Importante: a hipótese
aparece porque extremos locais internos só podem ocorrer em pontos críticos (teorema de Fermat); em extremos na borda do domínio (endpoints) a derivada pode ser não nula ou não estar definida, mas esses pontos são tratados separadamente como candidatos a extremos.
Passo 3
Exemplos em uma variável — eu mostro devagar para fixar o conceito.
-
Exemplo 1:
.
Calcule. Resolve → . Assim é ponto crítico. E, de fato, é um mínimo local (a parábola tem mínimo em ). -
Exemplo 2:
.
Calcule. Resolve → . Assim é ponto crítico. Mas atenção: não é máximo nem mínimo; é um ponto de inflexão (a função passa de concavidade). Isso mostra que ponto crítico não garante extremo — é só candidato. -
Exemplo 3 (caso derivada não existe):
.
Para, . Para , . Em a derivada não existe (limites laterais diferentes), mas está definida em . Logo é ponto crítico pela segunda condição. E aqui é realmente um mínimo local. Para ver a não existência da derivada, calcule as derivadas laterais: valores diferentes → derivada não existe.
Passo 4
Observação sobre extremos em domínios fechados e borda:
Se o domínio for um intervalo fechado, por exemplo , os extremos absolutos podem ocorrer em pontos críticos dentro de
ou nos pontos de borda
e
. Portanto, na prova a receita prática é: (i) encontrar pontos críticos em
, (ii) avaliar também os pontos de borda/bordas do domínio, (iii) comparar valores para decidir extremos absolutos.
Se o domínio for um intervalo fechado, por exemplo
Passo 5
Definição para funções de várias variáveis (generalização).
Considere com
aberto. Um ponto
é ponto crítico de
se ou
Considere
-
(vetor gradiente nulo, isto é, todas as derivadas parciais em são zero), ou - alguma das derivadas parciais não existe em
(mas está definida em ).
Explicação: a condição
é a analogia de
em várias variáveis; significa que não existe direção de primeira ordem em que a função aumente ou diminua (ponto estacionário). Assim como no caso unidimensional, um ponto crítico pode ser mínimo, máximo, sela (saddle) ou outro tipo — é apenas um candidato. Para classificar, usa-se a matriz Hessiana quando ela existe.
Passo 6
Resumo prático (passo a passo para a prova):
- Determine o domínio
de . - Calcule derivada
(ou gradiente ). - Encontre pontos onde
(ou ). - Acrescente pontos onde a derivada/ parciais não existem, mas
está definida. - Se o domínio tem borda, verifique também a borda.
- Classifique os candidatos (testes da primeira/segunda derivada, Hessiana, ou comparação de valores).
Resposta
Um ponto
é ponto crítico de
se ou
ou
não existe em
(com
definida em
).
De forma análoga, para (com
aberto), um ponto
é crítico se
ou alguma derivada parcial não existe em
.
De forma análoga, para