Responda os itens abaixo:
(0.5) Sabendo que
Qual os valores de
e
.
(0.5) Sabendo que
Passo 1
O enunciado dá a igualdade
e pede os valores de
e
. Informações relevantes:
- A expressão envolve
, então é necessário (domínio da função logaritmo). -
é a base dos logaritmos naturais e aparece em . -
e são constantes que multiplicam, respectivamente, e .
A pergunta é: quais são os númerose que tornam a igualdade verdadeira para todo ?
Passo 2
Relembrando propriedades úteis do logaritmo natural (aulas rápidas!):
- Regra do quociente:
para , . - Regra da potência:
para e qualquer real . - Inverso exponencial-logarítmico:
para todo real , porque e são funções inversas.
Cada uma dessas fórmulas vale exatamente como escrita; vou aplicá-las passo a passo.
Passo 3
Aplicando a regra do quociente à expressão do enunciado:
Agora aplico a regra da potência ao primeiro termo e a identidade log-exp ao segundo termo:
Portanto
Passo 4
Comparando com a forma dada
, igualamos os coeficientes das “partes independentes”
e
:
- o coeficiente de
é , logo ; - o coeficiente de
é , logo .