Responda os itens abaixo:
(0.5) Sabendo que
\ln \left(\frac{x^{7}}{\mathbf{e}^{x}}\right)=A \ln (x)+B x
Qual os valores de A e B.

Passo 1

O enunciado dá a igualdade
\ln\!\left(\frac{x^{7}}{\mathbf{e}^{x}}\right)=A\ln(x)+B x
e pede os valores de A e B. Informações relevantes:
  • A expressão envolve \ln, então é necessário x>0 (domínio da função logaritmo).
  • \mathbf{e} é a base dos logaritmos naturais e aparece em \mathbf{e}^{x}.
  • A e B são constantes que multiplicam, respectivamente, \ln(x) e x.
    A pergunta é: quais são os números A e B que tornam a igualdade verdadeira para todo x>0?

Passo 2

Relembrando propriedades úteis do logaritmo natural (aulas rápidas!):
  • Regra do quociente: \ln\!\left(\dfrac{u}{v}\right)=\ln(u)-\ln(v) para u>0, v>0.
  • Regra da potência: \ln(u^{k})=k\ln(u) para u>0 e qualquer real k.
  • Inverso exponencial-logarítmico: \ln\!\big(\mathbf{e}^{t}\big)=t para todo real t, porque \ln e \mathbf{e}^{(\cdot)} são funções inversas.
    Cada uma dessas fórmulas vale exatamente como escrita; vou aplicá-las passo a passo.

Passo 3

Aplicando a regra do quociente à expressão do enunciado:
\ln\!\left(\frac{x^{7}}{\mathbf{e}^{x}}\right)=\ln\!(x^{7})-\ln\!\big(\mathbf{e}^{x}\big).
Agora aplico a regra da potência ao primeiro termo e a identidade log-exp ao segundo termo:
\ln\!(x^{7})=7\ln(x), \qquad \ln\!\big(\mathbf{e}^{x}\big)=x.
Portanto
\ln\!\left(\frac{x^{7}}{\mathbf{e}^{x}}\right)=7\ln(x)-x.

Passo 4

Comparando com a forma dada A\ln(x)+B x, igualamos os coeficientes das “partes independentes” \ln(x) e x:
  • o coeficiente de \ln(x) é 7, logo A=7;
  • o coeficiente de x é -1, logo B=-1.

Resposta

A=7
B=-1

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