Questão 2 \beta Calcule a derivada das seguintes funções:
(a) f(x)=x^{4}+2 x+1

Passo 1

O enunciado pede para calcular a derivada da função
f(x)=x^{4}+2x+1.
Informações que temos: a função está dada explicitamente como soma de três termos — um termo polinomial de grau 4, um termo linear e uma constante. Queremos encontrar f'(x), que é a função derivada que dá a taxa de variação instantânea de f em cada ponto x.

Passo 2

Definição de derivada (o que significa e notação). A derivada de uma função f num ponto x é, por definição,
f'(x)=\lim_{h\to0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}.
Isso representa a inclinação da reta tangente ao gráfico de f em x. Nas contas abaixo, usaremos essa definição quando for útil, e também regras básicas que facilitam o cálculo.

Passo 3

Regras básicas que vamos usar (e o que cada símbolo significa):
  • Linearidade: a derivada de uma soma é a soma das derivadas. Ou seja, se g(x)=u(x)+v(x) então g'(x)=u'(x)+v'(x).
  • Constante multiplicativa: a derivada de uma constante \alpha multiplicando uma função é \alpha vezes a derivada da função. Ou seja, (\alpha u(x))'=\alpha u'(x).
  • Derivada de constante: se c é constante então c'=0.
    Aqui \alpha e c são constantes numéricas, u e v são funções de x.
Com essas regras, podemos tratar cada termo de f(x) separadamente: x^{4}, 2x e 1.

Passo 4

Cálculo da derivada do termo x^{4} pela definição (poderíamos aplicar diretamente a regra do expoente, mas aqui mostramos a conta passo a passo para entender de onde vem):
Começamos com
\frac{(x+h)^{4}-x^{4}}{h}.
Expandindo (x+h)^{4} pelo teorema binomial:
(x+h)^{4}=x^{4}+4x^{3}h+6x^{2}h^{2}+4xh^{3}+h^{4}.
Substituindo na diferença:
\frac{(x+h)^{4}-x^{4}}{h}=\frac{4x^{3}h+6x^{2}h^{2}+4xh^{3}+h^{4}}{h}.
Fatorando h no numerador:
\frac{h\bigl(4x^{3}+6x^{2}h+4xh^{2}+h^{3}\bigr)}{h}=4x^{3}+6x^{2}h+4xh^{2}+h^{3}.
Agora tomamos o limite quando h\to0:
\lim_{h\to0}\bigl(4x^{3}+6x^{2}h+4xh^{2}+h^{3}\bigr)=4x^{3},
pois todos os termos que têm h desaparecem ao fazer h\to0. Logo
\frac{d}{dx}\bigl(x^{4}\bigr)=4x^{3}.

Passo 5

Derivada dos outros termos:
  • Para 2x: usando a constante multiplicativa e que \dfrac{d}{dx}(x)=1, obtemos
\frac{d}{dx}(2x)=2\cdot\frac{d}{dx}(x)=2\cdot1=2.
  • Para a constante 1: a derivada é zero,
\frac{d}{dx}(1)=0.

Passo 6

Somando as derivadas termo a termo (pela linearidade):
f'(x)=\frac{d}{dx}\bigl(x^{4}\bigr)+\frac{d}{dx}(2x)+\frac{d}{dx}(1)=4x^{3}+2+0.
Portanto o resultado final simplificado é 4x^{3}+2.

Resposta

f'(x)=4x^{3}+2

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