Questão
Calcule a derivada das seguintes funções:
(a)
(a)
Passo 1
O enunciado pede para calcular a derivada da função
.
Informações que temos: a função está dada explicitamente como soma de três termos — um termo polinomial de grau 4, um termo linear e uma constante. Queremos encontrar , que é a função derivada que dá a taxa de variação instantânea de
em cada ponto
.
Informações que temos: a função está dada explicitamente como soma de três termos — um termo polinomial de grau 4, um termo linear e uma constante. Queremos encontrar
Passo 2
Definição de derivada (o que significa e notação). A derivada de uma função
num ponto
é, por definição,
Isso representa a inclinação da reta tangente ao gráfico de
em
. Nas contas abaixo, usaremos essa definição quando for útil, e também regras básicas que facilitam o cálculo.
Passo 3
Regras básicas que vamos usar (e o que cada símbolo significa):
- Linearidade: a derivada de uma soma é a soma das derivadas. Ou seja, se
então . - Constante multiplicativa: a derivada de uma constante
multiplicando uma função é vezes a derivada da função. Ou seja, . - Derivada de constante: se
é constante então .
Aquie são constantes numéricas, e são funções de .
Com essas regras, podemos tratar cada termo de
separadamente:
,
e
.
Passo 4
Cálculo da derivada do termo
pela definição (poderíamos aplicar diretamente a regra do expoente, mas aqui mostramos a conta passo a passo para entender de onde vem):
Começamos com
Começamos com
Expandindo
pelo teorema binomial:
Substituindo na diferença:
Fatorando
no numerador:
Agora tomamos o limite quando
:
pois todos os termos que têm
desaparecem ao fazer
. Logo
Passo 5
Derivada dos outros termos:
- Para
: usando a constante multiplicativa e que , obtemos
- Para a constante
: a derivada é zero,
Passo 6
Somando as derivadas termo a termo (pela linearidade):
Portanto o resultado final simplificado é
.