Responda os itens seguintes:
Se
, então
necessariamente tem um extremo local em
? Justifique.
Se
Passo 1
O enunciado dá que a derivada de uma função no ponto
é zero, isto é,
.\n\nA pergunta é: isso implica necessariamente que
tem um extremo local em
? Peço para justificar a resposta.
Passo 2
Primeira observação importante (teorema de Fermat, enunciado e prova): se uma função
tem um extremo local em
e é diferenciável em
, então
. Vou demonstrar isso passo a passo porque é útil para entender o porquê de
ser uma condição necessária.
Prova do teorema de Fermat (passo a passo):
- Suponha que
tem um máximo local em (o argumento para mínimo é análogo). Então existe tal que para todo com vale . - Considere o quociente diferencial à direita quando
e pequeno: porque e . - Analogamente, para
(pequeno em módulo) temos porque agora o numerador é e troca o sinal. - Se
é diferenciável em , os limites laterais desses quocientes existem e coincidem com . Logo e ao mesmo tempo, portanto . - Conclusão: existência de extremo local + diferenciabilidade em
implica .
Isso mostra que
é uma condição necessária para haver extremo local (quando a função é diferenciável). Mas a recíproca (se
então há extremo) ainda não foi respondida — vamos para os contraexemplos e explicações.
Passo 3
Contraexemplo simples que responde a pergunta: considere a função
definida em
.
Calcule a derivada:
Em
temos
.
Agora verifique se existe extremo local em
. Para
pequeno,
. Para
pequeno,
. Ou seja, valores à esquerda de
são menores que
e valores à direita são maiores —
é crescente passando por
. Portanto
não é nem mínimo nem máximo local. Conclusão:
mas não há extremo local em
.
Esse exemplo basta para mostrar que a resposta à pergunta é negativa: não necessariamente há extremo quando
.
Passo 4
Interpretação didática do contraexemplo: pontos em que
chamam-se pontos críticos ou pontos estacionários. Existem três situações principais para um ponto crítico:
- é um extremo local (mínimo ou máximo);
- é um ponto de inflexão (como em
), onde a concavidade muda mas não há extremo; - é um ponto onde a derivada não fornece informação suficiente (casos degenerados).
A razão prática é que
só garante que a taxa de variação instantânea é nula naquele ponto, mas não diz nada sobre o comportamento da função imediatamente à esquerda e à direita de
— e o sinal (positivo/negativo) de
à esquerda e à direita é o que determina se há mudança de crescente para decrescente (extremo) ou não.
Passo 5
Teste prático que se usa em provas (segunda derivada e teste do sinal):
- Segundo derivada (teste clássico): se
é duas vezes diferenciável em e , então - se
temos que tem mínimo local em ; - se
temos que tem máximo local em ; - se
o teste é inconclusivo.
- se
- Intuição:
mede a concavidade. Se a concavidade é positiva (copinho para cima), o ponto estacionário é mínimo; se é negativa (copinho para baixo), é máximo.
Exemplo positivo:
. Aqui
, logo
. E
, então
— portanto mínimo local em
.
Exemplo onde
e há ou não extremo:
-
: , ; , logo . Apesar disso, tem mínimo local em (valores próximos são ). Aqui o teste da segunda derivada falha (inconclusivo) e é preciso usar derivadas de ordem superior ou comparar valores de . -
: também, mas não há extremo (já discutido).
Passo 6
Como proceder numa prova — receita passo a passo:
- Calcule
e encontre os pontos críticos resolvendo (ou onde não existe). - Para cada ponto crítico
: - Tente aplicar o teste da segunda derivada: calcule
. - Se
conclui-se mínimo local. - Se
conclui-se máximo local. - Se
, o teste falha; passe para o próximo item.
- Se
- Analise o sinal de
à esquerda e à direita de (teste do sinal): escolha próximos a e verifique se e têm sinais distintos. - Se
muda de positivo para negativo em → máximo. - Se
muda de negativo para positivo em → mínimo. - Se não muda de sinal → não há extremo.
- Se
- Se necessário, usar desenvolvimento em série (Taylor) ou a menor ordem
tal que : se é par e o primeiro coeficiente não-nulo indica sinal positivo → mínimo; se é par e coeficiente negativo → máximo; se é ímpar → sem extremo (ponto de inflexão).
- Tente aplicar o teste da segunda derivada: calcule
Passo 7
Resumo final e motivacional: portanto, embora
seja uma condição que aparece sempre que há extremo local (quando a função é diferenciável), ela não é suficiente por si só para garantir um extremo. Na prova, trate pontos com
como candidatos e aplique os testes (segunda derivada, mudança de sinal de
, ou análise por séries) para concluir se realmente há mínimo, máximo ou nenhum dos dois. Você consegue — siga a receita e pratique com alguns exemplos!
Resposta
Não. Um contraexemplo simples é
: tem
mas
não é extremo local.