Responda os itens seguintes:
Se f^{\prime}\text{(c)}=0, então f necessariamente tem um extremo local em x=c ? Justifique.

Passo 1

O enunciado dá que a derivada de uma função no ponto c é zero, isto é, \,f'\text{(c)}=0.\n\nA pergunta é: isso implica necessariamente que f tem um extremo local em x=c? Peço para justificar a resposta.

Passo 2

Primeira observação importante (teorema de Fermat, enunciado e prova): se uma função f tem um extremo local em c e é diferenciável em c, então \,f'\text{(c)}=0. Vou demonstrar isso passo a passo porque é útil para entender o porquê de \,f'\text{(c)}=0 ser uma condição necessária.
Prova do teorema de Fermat (passo a passo):
  • Suponha que f tem um máximo local em c (o argumento para mínimo é análogo). Então existe \delta>0 tal que para todo x com |x-c|<\delta vale f(x)\le f\text{(c)}.
  • Considere o quociente diferencial à direita quando h>0 e pequeno: \frac{f(c+h)-f\text{(c)}}{h}\le 0,porque f(c+h)\le f\text{(c)} e h>0.
  • Analogamente, para h<0 (pequeno em módulo) temos \frac{f(c+h)-f\text{(c)}}{h}\ge 0,porque agora o numerador é \le 0 e h<0 troca o sinal.
  • Se f é diferenciável em c, os limites laterais desses quocientes existem e coincidem com f'\text{(c)}. Logo f'\text{(c)}\le 0 e f'\text{(c)}\ge 0 ao mesmo tempo, portanto f'\text{(c)}=0.
  • Conclusão: existência de extremo local + diferenciabilidade em c implica \,f'\text{(c)}=0.
Isso mostra que \,f'\text{(c)}=0 é uma condição necessária para haver extremo local (quando a função é diferenciável). Mas a recíproca (se f'\text{(c)}=0 então há extremo) ainda não foi respondida — vamos para os contraexemplos e explicações.

Passo 3

Contraexemplo simples que responde a pergunta: considere a função f(x)=x^{3} definida em \mathbb{R}.
Calcule a derivada:
f'(x)=3x^{2}.
Em x=0 temos \,f'(0)=3\cdot 0^{2}=0.
Agora verifique se existe extremo local em 0. Para x>0 pequeno, f(x)=x^{3}>0=f(0). Para x<0 pequeno, f(x)=x^{3}<0=f(0). Ou seja, valores à esquerda de 0 são menores que f(0) e valores à direita são maiores — f é crescente passando por 0. Portanto f(0) não é nem mínimo nem máximo local. Conclusão: \,f'(0)=0 mas não há extremo local em x=0.
Esse exemplo basta para mostrar que a resposta à pergunta é negativa: não necessariamente há extremo quando \,f'\text{(c)}=0.

Passo 4

Interpretação didática do contraexemplo: pontos em que \,f'\text{(c)}=0 chamam-se pontos críticos ou pontos estacionários. Existem três situações principais para um ponto crítico:
  • é um extremo local (mínimo ou máximo);
  • é um ponto de inflexão (como em x^{3}), onde a concavidade muda mas não há extremo;
  • é um ponto onde a derivada não fornece informação suficiente (casos degenerados).
A razão prática é que \,f'\text{(c)}=0 só garante que a taxa de variação instantânea é nula naquele ponto, mas não diz nada sobre o comportamento da função imediatamente à esquerda e à direita de c — e o sinal (positivo/negativo) de f' à esquerda e à direita é o que determina se há mudança de crescente para decrescente (extremo) ou não.

Passo 5

Teste prático que se usa em provas (segunda derivada e teste do sinal):
  • Segundo derivada (teste clássico): se f é duas vezes diferenciável em c e f'\text{(c)}=0, então
    • se \,f''\text{(c)}>0 temos que f tem mínimo local em c;
    • se \,f''\text{(c)}<0 temos que f tem máximo local em c;
    • se \,f''\text{(c)}=0 o teste é inconclusivo.
  • Intuição: \,f''\text{(c)} mede a concavidade. Se a concavidade é positiva (copinho para cima), o ponto estacionário é mínimo; se é negativa (copinho para baixo), é máximo.
Exemplo positivo: f(x)=x^{2}. Aqui f'(x)=2x, logo f'(0)=0. E f''(x)=2, então f''(0)=2>0 — portanto mínimo local em 0.
Exemplo onde f''\text{(c)}=0 e há ou não extremo:
  • f(x)=x^{4}: f'(x)=4x^{3}, f'(0)=0; f''(x)=12x^{2}, logo f''(0)=0. Apesar disso, f tem mínimo local em 0 (valores próximos são \ge 0). Aqui o teste da segunda derivada falha (inconclusivo) e é preciso usar derivadas de ordem superior ou comparar valores de f.
  • f(x)=x^{3}: f''(0)=0 também, mas não há extremo (já discutido).

Passo 6

Como proceder numa prova — receita passo a passo:
  1. Calcule f'(x) e encontre os pontos críticos resolvendo \,f'(x)=0 (ou onde f' não existe).
  2. Para cada ponto crítico c:
    • Tente aplicar o teste da segunda derivada: calcule f''\text{(c)}.
      • Se f''\text{(c)}>0 conclui-se mínimo local.
      • Se f''\text{(c)}<0 conclui-se máximo local.
      • Se f''\text{(c)}=0, o teste falha; passe para o próximo item.
    • Analise o sinal de f' à esquerda e à direita de c (teste do sinal): escolha x_{-}<c<x_{+} próximos a c e verifique se f'(x_{-}) e f'(x_{+}) têm sinais distintos.
      • Se f' muda de positivo para negativo em c → máximo.
      • Se f' muda de negativo para positivo em c → mínimo.
      • Se não muda de sinal → não há extremo.
    • Se necessário, usar desenvolvimento em série (Taylor) ou a menor ordem n tal que f^{(n)}\text{(c)}\neq 0: se n é par e o primeiro coeficiente não-nulo indica sinal positivo → mínimo; se n é par e coeficiente negativo → máximo; se n é ímpar → sem extremo (ponto de inflexão).

Passo 7

Resumo final e motivacional: portanto, embora \,f'\text{(c)}=0 seja uma condição que aparece sempre que há extremo local (quando a função é diferenciável), ela não é suficiente por si só para garantir um extremo. Na prova, trate pontos com f'\text{(c)}=0 como candidatos e aplique os testes (segunda derivada, mudança de sinal de f', ou análise por séries) para concluir se realmente há mínimo, máximo ou nenhum dos dois. Você consegue — siga a receita e pratique com alguns exemplos!

Resposta

Não. Um contraexemplo simples é f(x)=x^{3}: tem f'(0)=0 mas x=0 não é extremo local.

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