Responda os itens abaixo.
Defina o que é um valor crítico de uma função
.
Defina o que é um valor crítico de uma função
Passo 1
O enunciado pede: "Defina o que é um valor crítico de uma função
".
Informações dadas: apenas que existe uma função (assuma
com domínio em um subconjunto de
). Não foram dadas propriedades adicionais (continuidade, diferenciabilidade, intervalo fechado, etc.).
Informações dadas: apenas que existe uma função
Passo 2
Vamos lembrar o que é derivada e por que ela importa para extremos (a ideia que vai nos ajudar a entender valor crítico). A derivada de
num ponto
(quando existe) é o limite da taxa de variação média quando o incremento vai a zero. Em fórmulas:
quando esse limite existe e é finito. Intuição:
representa a inclinação da reta tangente a
em
. Se
, a tangente é horizontal — um lugar onde a função pode ter máximo ou mínimo local (mas não necessariamente).
Passo 3
Agora a definição formal, explicada com cuidado e sem pular etapas.
-
Primeiro defino “ponto crítico” (muito usado como etapa intermediária): um número
do domínio de é chamado de ponto crítico se vale uma das duas condições: -
, ou -
não existe em (isto é, a derivada não está definida em ),
desde quepertença ao domínio de .
-
-
Em seguida, defino “valor crítico”: o valor crítico é o número
que a função assume num ponto crítico . Em outras palavras, valores críticos são as imagens na reta de todos os pontos críticos.
Em frases curtas: ponto crítico = ponto
do domínio com
ou
não existe; valor crítico =
para tal ponto
.
Passo 4
Por que essa definição faz sentido para procurar máximos e mínimos? Pelo Teorema de Fermat: se
tem um extremo local em
e
é diferenciável em
, então
. Assim, extremos locais (quando a derivada existe) aparecem entre os pontos com
. Além disso, extremos também podem ocorrer onde a derivada não existe (por exemplo, em cantos), daí a inclusão do caso “derivada não existe” na definição de ponto crítico. Por isso, para achar candidatos a extremos, buscamos pontos críticos e avaliamos
nesses pontos.
Passo 5
Exemplo simples 1 — função quadrática:
Considere .
Calcule a derivada: .
Resolva :
.
Logo é ponto crítico. O valor crítico correspondente é
Considere
Calcule a derivada:
Resolva
Logo
então
é um valor crítico de
. (Aqui a derivada existe e é zero.)
Passo 6
Exemplo simples 2 — valor crítico por derivada inexistente:
Considere .
Para ,
e
. Para
,
e
. Em
os dois limites das diferenças quocientes dão sinais opostos, logo
não existe. Como
pertence ao domínio de
e
não existe em
,
é ponto crítico. O valor crítico é
Considere
Para
Passo 7
Exemplo 3 — derivada nula em vários pontos:
Considere .
Derivada: .
Resolver dá
, isto é
para
. Os valores críticos correspondentes são
Considere
Derivada:
Resolver
ou seja, os valores críticos são
e
(obtidos repetidamente).
Passo 8
Pontos que não pertencem ao domínio não são pontos críticos. Por exemplo,
não é definida em
, logo
não é ponto crítico nem gera valor crítico — mesmo que algo “estranho” ocorra perto de
. Em resumo: primeiro verifique o domínio; só pontos dentro do domínio podem ser pontos críticos.
Passo 9
Observação sobre extremos em intervalos fechados: quando
está definida num intervalo fechado
, os extremos absolutos podem ocorrer em pontos críticos interiores (como definidos acima) ou nos extremos do intervalo
e
. Muitos enunciados de prova pedem "calcule extremos em
"; aí é preciso:
- encontrar pontos críticos no interior (resolver
e checar onde não existe), - avaliar
nesses pontos e em e , - comparar os valores para determinar máximos e mínimos absolutos.
Note quee podem não ser “pontos críticos” pela definição estrita, mas precisam ser checados para extremos absolutos.
Passo 10
Como proceder numa prova (receita prática, passo a passo):
- Determine o domínio de
. - Calcule
(usando definição ou regras de derivação). - Resolva
— obtenha candidatos. - Encontre pontos do domínio onde
não existe — também candidatos. - Os valores críticos são os números
para cada candidato . - Se estiver em intervalo fechado, também avalie
nos endpoints para comparar extremos absolutos.
Resposta
Um valor crítico de
é um número da forma
, onde
é um ponto do domínio de
tal que
ou
não existe em
.