Responda os itens abaixo.
Defina o que é um valor crítico de uma função f.

Passo 1

O enunciado pede: "Defina o que é um valor crítico de uma função f".
Informações dadas: apenas que existe uma função f (assuma f com domínio em um subconjunto de \mathbb{R}). Não foram dadas propriedades adicionais (continuidade, diferenciabilidade, intervalo fechado, etc.).

Passo 2

Vamos lembrar o que é derivada e por que ela importa para extremos (a ideia que vai nos ajudar a entender valor crítico). A derivada de f num ponto c (quando existe) é o limite da taxa de variação média quando o incremento vai a zero. Em fórmulas:
f'\text{(c)}=\lim_{h\to0}\frac{f(c+h)-f\text{(c)}}{h},
quando esse limite existe e é finito. Intuição: f'\text{(c)} representa a inclinação da reta tangente a f em c. Se f'\text{(c)}=0, a tangente é horizontal — um lugar onde a função pode ter máximo ou mínimo local (mas não necessariamente).

Passo 3

Agora a definição formal, explicada com cuidado e sem pular etapas.
  • Primeiro defino “ponto crítico” (muito usado como etapa intermediária): um número c do domínio de f é chamado de ponto crítico se vale uma das duas condições:
    1. f'\text{(c)}=0, ou
    2. f' não existe em c (isto é, a derivada não está definida em c),
      desde que c pertença ao domínio de f.
  • Em seguida, defino “valor crítico”: o valor crítico é o número f\text{(c)} que a função assume num ponto crítico c. Em outras palavras, valores críticos são as imagens na reta y de todos os pontos críticos.
Em frases curtas: ponto crítico = ponto c do domínio com f'\text{(c)}=0 ou f' não existe; valor crítico = f\text{(c)} para tal ponto c.

Passo 4

Por que essa definição faz sentido para procurar máximos e mínimos? Pelo Teorema de Fermat: se f tem um extremo local em c e f é diferenciável em c, então f'\text{(c)}=0. Assim, extremos locais (quando a derivada existe) aparecem entre os pontos com f'\text{(c)}=0. Além disso, extremos também podem ocorrer onde a derivada não existe (por exemplo, em cantos), daí a inclusão do caso “derivada não existe” na definição de ponto crítico. Por isso, para achar candidatos a extremos, buscamos pontos críticos e avaliamos f nesses pontos.

Passo 5

Exemplo simples 1 — função quadrática:
Considere f(x)=x^2.
Calcule a derivada: f'(x)=2x.
Resolva f'(x)=0: 2x=0\Rightarrow x=0.
Logo x=0 é ponto crítico. O valor crítico correspondente é
f(0)=0,
então 0 é um valor crítico de f. (Aqui a derivada existe e é zero.)

Passo 6

Exemplo simples 2 — valor crítico por derivada inexistente:
Considere f(x)=|x|.
Para x>0, f(x)=x e f'(x)=1. Para x<0, f(x)=-x e f'(x)=-1. Em x=0 os dois limites das diferenças quocientes dão sinais opostos, logo f'(0) não existe. Como 0 pertence ao domínio de f e f' não existe em 0, x=0 é ponto crítico. O valor crítico é
f(0)=0.

Passo 7

Exemplo 3 — derivada nula em vários pontos:
Considere f(x)=\sin x.
Derivada: f'(x)=\cos x.
Resolver f'(x)=0 \cos x=0, isto é x=\dfrac{\pi}{2}+k\pi para k\in\mathbb{Z}. Os valores críticos correspondentes são
f\!\Big(\frac{\pi}{2}+k\pi\Big)=\sin\!\Big(\frac{\pi}{2}+k\pi\Big)=(-1)^k,
ou seja, os valores críticos são 1 e -1 (obtidos repetidamente).

Passo 8

Pontos que não pertencem ao domínio não são pontos críticos. Por exemplo, f(x)=\dfrac{1}{x} não é definida em x=0, logo 0 não é ponto crítico nem gera valor crítico — mesmo que algo “estranho” ocorra perto de 0. Em resumo: primeiro verifique o domínio; só pontos dentro do domínio podem ser pontos críticos.

Passo 9

Observação sobre extremos em intervalos fechados: quando f está definida num intervalo fechado [a,b], os extremos absolutos podem ocorrer em pontos críticos interiores (como definidos acima) ou nos extremos do intervalo a e b. Muitos enunciados de prova pedem "calcule extremos em [a,b]"; aí é preciso:
  1. encontrar pontos críticos no interior (resolver f'(x)=0 e checar onde f' não existe),
  2. avaliar f nesses pontos e em a e b,
  3. comparar os valores para determinar máximos e mínimos absolutos.
    Note que a e b podem não ser “pontos críticos” pela definição estrita, mas precisam ser checados para extremos absolutos.

Passo 10

Como proceder numa prova (receita prática, passo a passo):
  1. Determine o domínio de f.
  2. Calcule f'(x) (usando definição ou regras de derivação).
  3. Resolva f'(x)=0 — obtenha candidatos.
  4. Encontre pontos do domínio onde f' não existe — também candidatos.
  5. Os valores críticos são os números f\text{(c)} para cada candidato c.
  6. Se estiver em intervalo fechado, também avalie f nos endpoints para comparar extremos absolutos.

Resposta

Um valor crítico de f é um número da forma f\text{(c)}, onde c é um ponto do domínio de f tal que f'\text{(c)}=0 ou f' não existe em c.

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