Responda aos itens a seguir, com base na definição de relação de ordem em N.
a) Sejam a, b \in N tais que a < b. Mostre que a+1 \leq b.
b) Seja n \in N. Mostre que não existe m \in N tal que

Passo 1

O que o enunciado dá e o que pede:
  • Dados: a,b\in\mathbb{N} com a<b.
  • Pedido (a): Mostrar que a+1\leq b.
  • Dado: n\in\mathbb{N}.
  • Pedido (b): Mostrar que não existe m\in\mathbb{N} tal que n<m<n+1.
Anotei claramente as hipóteses e as duas conclusões que precisamos provar. A resolução começa no próximo passo.

Passo 2

Observação/lemmas úteis (explicados devagar):
  • A reta dos naturais é “discreta”: se x,y\in\mathbb{N} e x<y, então a diferença y-x é um natural estritamente positivo. Ou seja, existe p\in\mathbb{N} com p\geq 1 tal que
y = x + p.
Explicação: como os naturais avançam de um em um (sucessor), a única maneira de um natural ser menor que outro é que o maior seja obtido somando um número natural positivo ao menor. Aqui não se usa nada misterioso, apenas a ideia de “contar” quantos passos de unidade se precisa dar para ir de x até y.
  • Qualquer natural p\geq 1 pode ser escrito como p=1+q com q\in\mathbb{N}. Isso é simplesmente escrever um número positivo como “um mais outro natural”.
Vou usar essas observações para provar (a) e (b).

Passo 3

Prova de (a):
Partimos da hipótese a<b. Pela observação do passo anterior, existe p\in\mathbb{N} com p\geq 1 tal que
b = a + p.
Como p\geq 1, escrevemos p = 1 + q com q\in\mathbb{N}. Substituindo,
b = a + (1+q) = (a+1) + q.
Como q\in\mathbb{N}, a soma (a+1)+q é um natural maior ou igual a a+1. Em termos de desigualdade isso dá
a+1 \leq b.
Comentário didático: a ideia é muito simples — se b é maior que a, então para chegar a b a partir de a foi preciso dar pelo menos um passo de unidade, logo a+1 já não ultrapassa b.

Passo 4

Exemplo rápido para firmar a intuição:
Se a=3 e b=7, então b-a=4\geq 1. Escrevemos 4=1+3, logo b=(a+1)+3 e portanto a+1=4\leq 7=b. Isso ilustra a prova geral.

Passo 5

Prova de (b):
Suponha, por contradição, que exista m\in\mathbb{N} tal que
n < m < n+1.
Da desigualdade n<m, aplicando o resultado provado em (a) com a=n e b=m, obtemos
n+1 \leq m. \tag{1}
Por outro lado, da desigualdade m<n+1 podemos aplicar a mesma ideia trocando papéis: como m<n+1, existe s\in\mathbb{N} com s\geq 1 tal que
n+1 = m + s.
Escrevendo s=1+t com t\in\mathbb{N} temos
n+1 = m + (1+t) = (m+1) + t,
e subtraindo 1 de ambos os lados (ou reescrevendo) obtemos
n = m + t \geq m,
ou seja
m \leq n. \tag{2}
As desigualdades (1) e (2) juntas dão
n+1 \leq m \leq n,
o que é impossível (contradição), pois não existe natural que seja ao mesmo tempo \geq n+1 e \leq n. Portanto a suposição de que existe tal m é falsa. Concluímos que não existe m\in\mathbb{N} com n<m<n+1.

Passo 6

Comentário final pedagógico e motivador:
O que fizemos em (b) foi formalizar a intuição de que entre dois naturais consecutivos não há outro natural — os naturais são “pontinhos” separados por distância mínima 1. Nas provas, usar a ideia de escrever a diferença como um natural positivo ( p\geq 1 e depois p=1+q) é a técnica padrão e muito útil. Dá pra usar isso em várias outras desigualdades envolvendo inteiros e naturais.

Resposta

(a) a+1 \leq b
(b) Não existe m\in\mathbb{N} tal que n < m < n+1

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