Considere o conjunto
.
a) Determine o conjunto das partes de
, isto é,
.
b) Determine o produto Cartesiano
.
c) Determine o conjunto quociente
.
d) Determine todas as partições do conjunto
.
a) Determine o conjunto das partes de
b) Determine o produto Cartesiano
c) Determine o conjunto quociente
d) Determine todas as partições do conjunto
Passo 1
O enunciado nos dá o conjunto
e pede quatro coisas, separadas claramente:
- (a) Determinar o conjunto das partes de
, isto é, . - (b) Determinar o produto cartesiano
. - (c) Determinar o conjunto quociente
. - (d) Determinar todas as partições do conjunto
.
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
- O conjunto
tem exatamente três elementos: , e . - Não foi dada nenhuma outra estrutura (como ordem ou relação específica) além de
e do produto .
Passo 2
Vamos lembrar definições essenciais que vou usar (sem pular etapas):
- O conjunto das partes
é o conjunto de todos os subconjuntos de . Se tem elementos, então tem elementos. Aqui , então esperamos subconjuntos. - O produto cartesiano
é o conjunto de todos os pares ordenados com e . Se tem elementos, tem elementos. Aqui esperamos pares. - O conjunto quociente
quando é uma relação de equivalência sobre é o conjunto das classes de equivalência . No enunciado aparece : aqui a relação considerada é , ou seja, a relação universal que contém todos os pares possíveis de . - Uma partição de
é uma coleção de subconjuntos não vazios, disjuntos dois a dois, cuja união é . Há uma correspondência biunívoca entre partições de e relações de equivalência em .
Passo 3
Calcular
(parte a). Vou listar todos os subconjuntos organizando por tamanho (isso ajuda na prova para não esquecer nenhum):
- Subconjunto com 0 elementos: o conjunto vazio
. - Subconjuntos com 1 elemento (singletons):
, , . - Subconjuntos com 2 elementos (pares):
, , . - Subconjunto com 3 elementos:
inteiro .
Agora escrevo
reunindo todos eles:
Dica prática para prova: enumere por cardinalidade (0,1,2,···) para garantir que nenhum subconjunto foi esquecido.
Passo 4
Calcular
(parte b). Por definição, é o conjunto de todos os pares ordenados
com
e
em
. Vou construir sistematicamente fixando a primeira coordenada e variando a segunda.
- Para
: , , . - Para
: , , . - Para
: , , .
Reunindo,
Dica prática: em prova, conte
pares e escreva-os por linhas (linha para cada primeira coordenada).
Passo 5
Entender o que é
e verificar que
é uma relação de equivalência (parte c).
- Primeiro,
é a relação universal em ; por definição contém todos os pares com . - Verifico as propriedades de equivalência:
- Reflexiva: para todo
, — verdade porque todos os pares estão lá. - Simétrica: se
então — verdade porque todos os pares estão lá. - Transitiva: se
e então — verdade porque todos os pares estão lá.
- Reflexiva: para todo
- Logo
é uma relação de equivalência sobre .
Agora as classes de equivalência são, para qualquer
,
Mas, como a relação é universal, para qualquer
a classe
é todo
. Ou seja,
Portanto, o conjunto quociente (conjunto de todas as classes) tem exatamente uma classe, a classe
inteira:
Interpretação curta para prova: relação universal agrupa todos os elementos numa única classe.
Passo 6
Conexão entre partições e classes de equivalência (prévia para parte d). Lembrete didático:
- Cada partição de
corresponde a uma relação de equivalência cujas classes são os blocos da partição. - Assim, listar todas as partições de
é equivalente a listar todas as possíveis decomposições de em blocos disjuntos não vazios cuja união é .
Passo 7
Listar todas as partições de
(parte d). Como
tem 3 elementos, o número total de partições é o número de Bell
. Vou construir todas as possibilidades por número de blocos:
-
Partições com 1 bloco (tudo numa só parte):
-
.
-
-
Partições com 3 blocos (cada elemento separado):
-
.
-
-
Partições com 2 blocos (um bloco é um par e o outro bloco é o singleton restante). Há exatamente três maneiras, escolhendo qual elemento fica sozinho:
-
. -
. -
.
-
Isso totaliza 1 + 1 + 3 = 5 partições, como esperado.
Passo 8
Resumo das estratégias para a prova (rápido e prático):
- Para
: conte e enumere por cardinalidade para não esquecer subconjuntos. - Para
: conte pares e escreva por linhas (uma linha por primeira coordenada). - Para
: identifique se a relação dada é de equivalência; se for a relação universal, haverá uma só classe. - Para partições: organize por número de blocos e use simetria (no caso de pares+singleton, há tantas partições quanto escolhas do singleton).
Resposta
As partições de
são: