Considere o conjunto A = \{\alpha, \beta, \gamma\}.
a) Determine o conjunto das partes de A, isto é, P(A).
b) Determine o produto Cartesiano A \times A.
c) Determine o conjunto quociente A / (A \times A).
d) Determine todas as partições do conjunto A.

Passo 1

O enunciado nos dá o conjunto A=\{\alpha,\beta,\gamma\} e pede quatro coisas, separadas claramente:
  • (a) Determinar o conjunto das partes de A, isto é, P(A).
  • (b) Determinar o produto cartesiano A\times A.
  • (c) Determinar o conjunto quociente A/(A\times A).
  • (d) Determinar todas as partições do conjunto A.
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
  • O conjunto A tem exatamente três elementos: \alpha, \beta e \gamma.
  • Não foi dada nenhuma outra estrutura (como ordem ou relação específica) além de A e do produto A\times A.

Passo 2

Vamos lembrar definições essenciais que vou usar (sem pular etapas):
  • O conjunto das partes P(A) é o conjunto de todos os subconjuntos de A. Se A tem n elementos, então P(A) tem 2^n elementos. Aqui n=3, então esperamos 2^3=8 subconjuntos.
  • O produto cartesiano A\times A é o conjunto de todos os pares ordenados (x,y) com x\in A e y\in A. Se A tem n elementos, A\times A tem n^2 elementos. Aqui esperamos 3^2=9 pares.
  • O conjunto quociente A/R quando R é uma relação de equivalência sobre A é o conjunto das classes de equivalência [x]=\{y\in A: (x,y)\in R\}. No enunciado aparece A/(A\times A): aqui a relação considerada é R=A\times A, ou seja, a relação universal que contém todos os pares possíveis de A.
  • Uma partição de A é uma coleção de subconjuntos não vazios, disjuntos dois a dois, cuja união é A. Há uma correspondência biunívoca entre partições de A e relações de equivalência em A.

Passo 3

Calcular P(A) (parte a). Vou listar todos os subconjuntos organizando por tamanho (isso ajuda na prova para não esquecer nenhum):
  • Subconjunto com 0 elementos: o conjunto vazio \varnothing.
  • Subconjuntos com 1 elemento (singletons): \{\alpha\}, \{\beta\}, \{\gamma\}.
  • Subconjuntos com 2 elementos (pares): \{\alpha,\beta\}, \{\alpha,\gamma\}, \{\beta,\gamma\}.
  • Subconjunto com 3 elementos: A inteiro \{\alpha,\beta,\gamma\}.
Agora escrevo P(A) reunindo todos eles:
P(A)=\{\varnothing,\{\alpha\},\{\beta\},\{\gamma\},\{\alpha,\beta\},\{\alpha,\gamma\},\{\beta,\gamma\},\{\alpha,\beta,\gamma\}\}.
Dica prática para prova: enumere por cardinalidade (0,1,2,···) para garantir que nenhum subconjunto foi esquecido.

Passo 4

Calcular A\times A (parte b). Por definição, é o conjunto de todos os pares ordenados (x,y) com x e y em A. Vou construir sistematicamente fixando a primeira coordenada e variando a segunda.
  • Para x=\alpha: (\alpha,\alpha), (\alpha,\beta), (\alpha,\gamma).
  • Para x=\beta: (\beta,\alpha), (\beta,\beta), (\beta,\gamma).
  • Para x=\gamma: (\gamma,\alpha), (\gamma,\beta), (\gamma,\gamma).
Reunindo,
A\times A=\{(\alpha,\alpha),(\alpha,\beta),(\alpha,\gamma),(\beta,\alpha),(\beta,\beta),(\beta,\gamma),(\gamma,\alpha),(\gamma,\beta),(\gamma,\gamma)\}.
Dica prática: em prova, conte 3\times3=9 pares e escreva-os por linhas (linha para cada primeira coordenada).

Passo 5

Entender o que é A/(A\times A) e verificar que A\times A é uma relação de equivalência (parte c).
  • Primeiro, A\times A é a relação universal em A; por definição contém todos os pares (x,y) com x,y\in A.
  • Verifico as propriedades de equivalência:
    • Reflexiva: para todo x\in A, (x,x)\in A\times A — verdade porque todos os pares estão lá.
    • Simétrica: se (x,y)\in A\times A então (y,x)\in A\times A — verdade porque todos os pares estão lá.
    • Transitiva: se (x,y)\in A\times A e (y,z)\in A\times A então (x,z)\in A\times A — verdade porque todos os pares estão lá.
  • Logo A\times A é uma relação de equivalência sobre A.
Agora as classes de equivalência são, para qualquer x\in A,
[x]=\{y\in A: (x,y)\in A\times A\}.
Mas, como a relação é universal, para qualquer x a classe [x] é todo A. Ou seja,
[\alpha]=[\beta]=[\gamma]=\{\alpha,\beta,\gamma\}=A.
Portanto, o conjunto quociente (conjunto de todas as classes) tem exatamente uma classe, a classe A inteira:
A/(A\times A)=\{\,A\,\}.
Interpretação curta para prova: relação universal agrupa todos os elementos numa única classe.

Passo 6

Conexão entre partições e classes de equivalência (prévia para parte d). Lembrete didático:
  • Cada partição de A corresponde a uma relação de equivalência cujas classes são os blocos da partição.
  • Assim, listar todas as partições de A é equivalente a listar todas as possíveis decomposições de A em blocos disjuntos não vazios cuja união é A.

Passo 7

Listar todas as partições de A (parte d). Como A tem 3 elementos, o número total de partições é o número de Bell B_3=5. Vou construir todas as possibilidades por número de blocos:
  • Partições com 1 bloco (tudo numa só parte):
    • \{\{\alpha,\beta,\gamma\}\}.
  • Partições com 3 blocos (cada elemento separado):
    • \{\{\alpha\},\{\beta\},\{\gamma\}\}.
  • Partições com 2 blocos (um bloco é um par e o outro bloco é o singleton restante). Há exatamente três maneiras, escolhendo qual elemento fica sozinho:
    • \{\{\alpha,\beta\},\{\gamma\}\}.
    • \{\{\alpha,\gamma\},\{\beta\}\}.
    • \{\{\beta,\gamma\},\{\alpha\}\}.
Isso totaliza 1 + 1 + 3 = 5 partições, como esperado.

Passo 8

Resumo das estratégias para a prova (rápido e prático):
  • Para P(A): conte 2^n e enumere por cardinalidade para não esquecer subconjuntos.
  • Para A\times A: conte n^2 pares e escreva por linhas (uma linha por primeira coordenada).
  • Para A/(A\times A): identifique se a relação dada é de equivalência; se for a relação universal, haverá uma só classe.
  • Para partições: organize por número de blocos e use simetria (no caso de pares+singleton, há tantas partições quanto escolhas do singleton).

Resposta

P(A)=\{\varnothing,\{\alpha\},\{\beta\},\{\gamma\},\{\alpha,\beta\},\{\alpha,\gamma\},\{\beta,\gamma\},\{\alpha,\beta,\gamma\}\}
A\times A=\{(\alpha,\alpha),(\alpha,\beta),(\alpha,\gamma),(\beta,\alpha),(\beta,\beta),(\beta,\gamma),(\gamma,\alpha),(\gamma,\beta),(\gamma,\gamma)\}
A/(A\times A)=\{\{\alpha,\beta,\gamma\}\}
As partições de A são:
\{\{\alpha,\beta,\gamma\}\}
\{\{\alpha\},\{\beta\},\{\gamma\}\}
\{\{\alpha,\beta\},\{\gamma\}\}
\{\{\alpha,\gamma\},\{\beta\}\}
\{\{\beta,\gamma\},\{\alpha\}\}

Exercícios relacionados