Responda os itens a seguir justificando sua resposta
A proposição (\forall x \in \mathbb{R})\left(x^{2}+1=(x+1)^{2}\right) é verdadeira?

Passo 1

O enunciado nos dá a proposição
(\forall x \in \mathbb{R})\bigl(x^{2}+1=(x+1)^{2}\bigr)
O conteúdo aqui é lógica de predicados (quantificador universal) e álgebra de polinômios. Para decidir se uma proposição com “ \forall” é verdadeira, basta mostrar que ela vale para todo x\in\mathbb{R} ou encontrar um contraexemplo.

Passo 2

Vamos expandir o quadrado no lado direito para comparar as expressões.
(x+1)^{2} = x^{2} + 2x + 1.
A igualdade proposta torna-se
x^{2} + 1 = x^{2} + 2x + 1.

Passo 3

Subtraindo x^{2}+1 de ambos os lados, obtemos
0 = 2x \quad\Longrightarrow\quad x = 0.
Isso mostra que a igualdade vale somente quando x=0. Como o quantificador é “para todo x”, basta achar um valor de x que deixe a igualdade falsa. Por exemplo, se x=1,
1^{2}+1 = 2 \quad\text{e}\quad (1+1)^{2} = 4,
logo 2\neq4.

Resposta

A proposição é falsa.

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