Seja a função \mathrm{g}(t)=e^{-t} \cos (3 t), obter a transformada de Laplace \mathcal{L}\{g(t)\}.

Passo 1

O enunciado pede a transformada de Laplace de \,g(t)=e^{-t}\cos(3t). Vamos usar a propriedade de deslocamento na variável s: se \mathcal{L}\{f(t)\}=F(s), então
\mathcal{L}\{e^{at}f(t)\}=F(s-a).
Também precisaremos da transformada de \cos(3t), que pode ser obtida de tabela ou pela definição.

Passo 2

Calcular a transformada de Laplace de \cos(3t). Sabe-se que
\mathcal{L}\{\cos(3t)\} = \frac{s}{s^2 + 3^2} = \frac{s}{s^2 + 9}.

Passo 3

Aplicar a propriedade de deslocamento para a=-1 (pois e^{-t}=e^{(-1)t}). Substituímos s por s-(-1)=s+1 em \tfrac{s}{s^2+9}, obtendo
\mathcal{L}\{e^{-t}\cos(3t)\} = \frac{s+1}{(s+1)^2 + 9}.

Resposta

\mathcal{L}\{g(t)\} = \frac{s+1}{(s+1)^2 + 9}.

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