Seja a função f(t)=e^{2 t} \operatorname{sen}(5 t), obter a transformada de Laplace \mathcal{L}\{f(t)\}.

Passo 1

O enunciado pede a transformada de Laplace de \,f(t)=e^{2t}\sin(5t). O conteúdo principal é a propriedade de deslocamento exponencial na variável s:
\mathcal{L}\{e^{at}g(t)\}(s)=G(s-a)
onde G(s)=\mathcal{L}\{g(t)\}(s).

Passo 2

Primeiro lembramos a transformada de Laplace da função \sin(5t). Para \,g(t)=\sin(bt) temos
\mathcal{L}\{\sin(bt)\}(s)=\frac{b}{s^{2}+b^{2}},
portanto, no nosso caso com b=5,
G(s)=\mathcal{L}\{\sin(5t)\}(s)=\frac{5}{s^{2}+25}.

Passo 3

Agora aplicamos a propriedade do deslocamento exponencial com a=2. Assim,
\mathcal{L}\{e^{2t}\sin(5t)\}(s) =G(s-2) =\frac{5}{(s-2)^{2}+25}.

Resposta

\mathcal{L}\{e^{2t}\sin(5t)\}(s) =\frac{5}{(s-2)^{2}+25},\quad \Re(s)>2.

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