Responda, justificando sua resposta.
(0,3) Se g:[-1,1] longrightarrow R é dada por
g(x)=c -1 se -1 <= x<0 1 se 0 <= x <= 1,
então existe f:[-1,1] longrightarrow R derivável tal que f^prime=g ?

Passo 1

O enunciado define a função
g(x)= -1, & -1<= x<0, 1, & 0<= x<=1,
e pergunta se existe f:[-1,1]toR diferenciável em todo [-1,1] tal que f'=g. O conteúdo principal aqui é a propriedade de Darboux das derivadas.

Passo 2

Lembramos o Teorema de Darboux, que diz: se f é diferenciável num intervalo, então sua derivada f' satisfaz a propriedade do valor intermediário (não pode ter saltos): para quaisquer a<b e qualquer valor L entre f'(a) e f'(b), existe cin(a,b) tal que f'(c)=L.

Passo 3

No nosso caso, olhando perto de x=0:
limxto0^-g(x)=-1, limxto0^+g(x)=1,
e ainda g(0)=1. Há um salto de -1 para 1 em x=0, ou seja, g não assume nenhum valor em (-1,1) num vizinho de 0.

Passo 4

Se existisse f com f'=g, então f' deveria ter a propriedade de Darboux em torno de 0, mas g não a satisfaz. Logo não pode haver tal f.

Resposta

Não existe função f diferenciável em [-1,1] com f'=g.

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