Determine:
(1pt) a derivada de f(x)=x^2 e^tg x ln (sen x)
& dd x(x^2 cdot e^tg x cdot ln (sen x))= & 2 x cdot e^tg x cdot ln (sen x)+x^2 cdot sec ^2 x cdot e^tg x cdot ln (sen x)+x^2 cdot e^tg x cdot cos xsen x

Passo 1

O enunciado pede a derivada da função
f(x)=x^2,e^tgx,lnl(senxr)
Aqui vamos usar a regra do produto para três fatores, além da regra da cadeia para as funções compostas e^tgx e ln(senx).

Passo 2

Seja
u(x)=x^2, v(x)=e^tgx, w(x)=lnl(senxr)
Pela regra do produto em três fatores,
f'(x)=u'(x),v(x),w(x)+u(x),v'(x),w(x)+u(x),v(x),w'(x)

Passo 3

Calculemos cada derivada parcial:
  • u'(x)=dfracddx(x^2)=2x
  • Pela regra da cadeia,
v'(x)=ddxl(e^tgxr) =e^tgxcdotddxl(tgxr) =e^tgx,sec^2x
  • Novamente pela cadeia,
w'(x)=ddxl(ln(senx)r) =1senxcdotddxl(senxr) =cos xsenx

Passo 4

Substituindo em
f'(x)=u',v,w+u,v',w+u,v,w'
obtemos
f'(x) =2x,e^tgx,lnl(senxr) +x^2,e^tgx,sec^2x,lnl(senxr) +x^2,e^tgx,cos xsenx

Resposta

ddxl(x^2e^tgxln(senx)r) =2x,e^tgxln(senx) +x^2,e^tgxsec^2x,ln(senx) +x^2,e^tgxcos xsenx

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